ĐỀ THI HSG TỈNH THÁI BÌNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013

[Yoomico]

ĐỀ THI HSG TỈNH THÁI BÌNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013
Ngày thi: 7/12/2012
Địa điểm thi: THPT Đông Thụy Anh

Bài 1 (4đ): Cho hàm số $y = mx^3 - 3mx^2 + 3(m - 1) $ có đồ thị là $(Cm) $
1. CMR với mọi m khác ) thì đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị A và B. Tìm m để góc AOB nhọn
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 diểm có hoành độ lần lượt là $x_1 ,x_2 ,x_3 $ sao cho $x_1 < 1 < x_2 < x_3 $
Bài 2 (6đ):
1. Giải phương trình: $\frac{{(x - 2011)(x - 2013)}}{{2(x - 2012)}} = \ln (x - 2012) $
2. Tìm m để hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
(1 + 4^{mx - y} )5^{1 - mx + y} = 1 + 2^{mx - y + 1} \\
x - y = \sqrt {6x + 6y - 2xy - 10} \\
\end{array} \right. $ có nghiệm
Bài 3 (6đ):
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng $d_1 :3x - 4y - 24 = 0 $ và $ d_2 :2x - y - 6 = 0 $. Viết phương trình đường tròn $(C) $ tiếp xúc với $d_1 $ tại $A $ và cắt $d_2 $ tại $B $ và $C $ sao cho $BC = 4\sqrt 5 và \cos {\rm{BAC = }}\frac{{\sqrt 5 }}{5} $.
2. Trong không gian cho các tia $Ox, Oy, Oz $ chung gốc $O $ và xOz = yOz = 60 độ, xOy = 90 độ. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm $A, B, C $ khác $O $. Đặt $OA = a, OB = b, OC = c. $
a, Tính thể tích khối tứ diện $OABC $ và cosin góc giữa 2 đường thẳng $AC $ và $OM $ với M là chân đường phân giác trong góc AOB của tam giác OAB.
b, Biết C cố định còn A và B thay đổi sao cho mp(OAB) luôn tạo với mp(xOy) góc 30 độ. Xác định vị trí A, B để thể tích OABC la nhỏ nhất.
Bài 4 (3đ):
1. Giải phương trình: $2\sin (\frac{\pi }{4} - x).c{\rm{os}}2x.c{\rm{os}}6x = 3\cos 3(x - \frac{\pi }{4}) $
2. Một hộp đựng 25 viên bi gồm 10 xanh và 15 đỏ. Lấy ngẫu nhiên k viên bi trong hộp (k>3). Tính xác suất để trong k viên bi lấy được chắc chắn có 3 viên bi đỏ trở lên.
Câu 5 (1đ): Cho $x, y, z $ là 3 số thục thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 0 \\
x^2 + y^2 + z^2 = 2 \\
\end{array} \right. $
Tìm GTNN của $x^3 y^3 + y^3 z^3 + z^3 x^3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]