Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2014-2015 - Lời giải và bình luận

[namdung]

Hôm nay là ngày 1/10, ngày tốt để bắt đầu một công việc mà chúng ta đã làm đều đặn nhiều năm qua: Giải và bình luận đề thi các trường và các tỉnh.

Cuối tháng 9 vừa qua đã có nhiều trường và nhiều tỉnh thi chọn đội tuyển như Đà Nẵng, Bắc Giang, Quảng Trị, Ninh Bình, Hà Tĩnh, Đà Lạt, Đồng Nai, Sóc Trăng, PTNK ... và sắp tới hàng loạt các trường, các tỉnh sẽ thi. Năm nay chúng ta sẽ đổi mới một chút trong việc giải và bình luận. Ta sẽ coi trọng hơn về chất lượng chứ không chạy đua theo số lượng. Vì thế, ta sẽ chọn lọc những bài hay, có ý nghĩa học thuật nhiều hơn để bình luận và thật chi tiết, với cả những vấn đề xung quang, những sai lầm thường gặp. Như vậy các bạn học sinh và các thầy cô giáo sẽ thu nhận được nhiều hơn là đơn thuần một lời giải.

Tôi xin chọn lọc trước ở đây một số bài để các bạn vào giải và bình luận. Các bạn cũng có thể đề xuất các bài toán khác cần có bình luận. Để chủ đề không bị loãng, mong các bạn chọn lọc kỹ một chút. Chú ý là ta không quan tâm nhiều đến số lượng. Quan điểm của chúng ta là không chỉ chọn những bài khó và mới, mà là những bài qua đó có thể giảng giải cho các bạn học sinh được nhiều nhất.

1. (Đồng Tháp) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện $x + y + z = 5, x^2 + y^2 + z^2 = 9$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = x^3+ y^3 + z^3 $.

2. (Đồng Tháp) Có một số số thực dương, mỗi số không lớn hơn 0,5 và tổng của chúng không vượt quá 2,5.
a) Chứng minh rằng ta có thể chia các số thành 4 nhóm, mỗi nhóm có tổng các số không vượt quá 1.
b) Khẳng định trên còn đúng không nếu thay 4 nhóm bằng 3 nhóm?

3. (Quảng Trị) Chứng minh bất đẳng thức sau $3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1)$ với mọi x, y thực.

4. (Quảng Trị) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt a, b. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số n nếu n chưa có trên bảng và là tổng của hai số đã có trên bảng. Hãy xét xem số 2014 có được hiển thị trên bảng không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau a) a = 3, b = 12; b) a = 1, b = 2.

5. (PTNK) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ (a+1)(b+1)(c+1) = 1 + 4abc $ Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $ a + b + c \le 1 + abc $

6. (PTNK) Tìm tất cả các hàm số f: N* --> N* thỏa mãn hệ thức $ f(f(n)/n) = n^2 $ với mọi n nguyên dương. N* ký hiệu tập hợp các số nguyên dương.

7. (Sóc Trăng) Sau khi thi tốt nghiệp trung hoc phổ thông, các em học sinh khối 12 của trường trung học phổ thông MTT hẹn nhau mỗi năm họp mặt 1 lần vào ngày hội trại của trường. Tuy nhiên các thành viên không có mặt đủ theo giao ước ban đầu mà chỉ có đúng 20 thành viên tham dự mỗi lần họp mặt. Qua 10 lần họp mặt không có 2 thành viên nào dự họp mặt với nhau quá một lần. Hỏi khối 12 năm học đó của trường trung học phổ thông MTT có ít nhất là bao nhiêu học sinh?

8. (Đà Nẵng) Tại một hội nghị quốc tế, các đại biểu tham dự biết ít nhất một trong 3 thứ tiếng Anh, Pháp, Đức. Biết rằng có đúng 50 đại biểu biết tiếng Anh, đúng 50 đại biểu biết tiếng Pháp và đúng 50 đại biểu biết tiếng Đức. Chứng minh rằng có thể chia các đại biểu thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 đại biểu biết tiếng Anh, đúng 10 đại biểu biết tiếng Pháp và đúng 10 đại biểu biết tiếng Đức.

9. (Đà Nẵng) Các ô vuông của bảng vuông kích thước 10 x 10 được tô bằng các màu trắng và đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng ba ô được tô màu đen. Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy luôn có thể chọn ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào được chọn cùng hàng hoặc cùng cột.

10. (Đội tuyển Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Tìm tất cả các hàm số f: R --> R thỏa mãn điều kiện f(f(x) - y) + f(x+y) = 2x với mọi x, y thuộc R.

11. (???) Cho dãy số $ u_n $ được xác định bởi $ u_1 = \frac{21}{10} $, $ u_{n+1} = \frac{u_n-2+\sqrt{u_n^2+8u_n-4}}{2}$ với mọi n = 1, 2, 3, ... Đặt $v_n = \frac{1}{u_2^2-4} + ... + \frac{1}{u_{n+1}^2-4} $ Tìm $ lim v_n $ khi n dần đến vô cùng.

12. (Đà Lạt) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $a^3 + b^3 + c^3 + 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 3(ab+bc+ca)$

13. (Đà Lạt) Từ các chữ số 1, 3, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, mỗi số có 2014 chữ số.

Rất mong sự hưởng ứng của các thầy cô, các bạn sinh viên, các cựu IMO, cựu VMO và các bạn học sinh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]