Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2018-2019-Lời giải và bình luận

[MATHSCOPE]

Các bài toán Đại Số

$\boxed{1}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\right\}$ là một hoán vị của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$,(tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng
\[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\]
$\boxed{2}$ [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$, với $a,\,b\in\mathbb{R}$. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_0$ sao cho $f(f(x_0))=0$. Chúng minh rằng $a,\,b$ là các số không âm.

$\boxed{3}$ [Lạng Sơn] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\]
$\boxed{4}$ [Lạng Sơn] Cho đa thức $p(x)$ có hệ số nguyên, bậc là $2$ và hệ số bậc $2$ bằng $1$ thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x) $ có hệ số nguyên sao cho $P(x),\,Q(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số đều là $1,\,-1$

1. Chứng mimh rằng nếu $P(x) $ có nghiệm thực $x_0$ thì $\left| {{x_0}} \right| < 2$,
2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$.

$\boxed{5}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các hàng số $C$, sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ thỏa mãn\[P^2(x)-P\left(x^2\right)=Cx^{2018}.\]

$\boxed{6}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho các số thực $x,\,y,\,z$ không âm thay đổi và thỏa mãn\[\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} = 1.\]Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của\[P = xy + yz + zx + x\sqrt {yz} + y\sqrt {zx} + z\sqrt {xy} .\]

$\boxed{7}$ [Ninh Bình] Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.

$\boxed{8}$ [Ninh Bình] Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$. Chứng minh bất đẳng thức\[\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 4\sqrt 2 \left( {\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right) \ge 9 + 4\sqrt 2 .\]
$\boxed{9}$ [Sóc Trăng] Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x+y+z\le 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của\[T = \frac{{\sqrt {{x^2}{y^2} + 1} }}{y} + \frac{{\sqrt {{y^2}{z^2} + 1} }}{z} + \frac{{\sqrt {{z^2}{z^2} + 1} }}{x}.\]

$\boxed{10}$ [Hải Phòng] Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số\[1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{\begin{array}{l}
1 + \\
\quad\ddots \;1 + \dfrac{1}{x}\\

\end{array}}}} = x.\]

$\boxed{11}$ [Phú Thọ] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn$$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\quad\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

$\boxed{12}$ [Quảng Bình] Cho $P\left( x \right) = {x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + \ldots + {a_1}x + {a_0}$ là đa thức hệ số thực có $n$ nghiệm thực ($n$ chẵn và các nghiệm không nhất thiết phân biệt). Giả sử $y$ là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực $t$ bé hơn $y$ thì $P(x)> 0$. Chứng minh rằng \[\sqrt[n]{{P\left( 0 \right)}} - \sqrt[n]{{P\left( y \right)}} \ge y.\]
$\boxed{13}$ [Quảng Bình] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức \[f(x - y) + f(xy) = f(x) - f(y) + f(x)f(y),\quad \forall\,x,\,y\in\mathbb R.\]
$\boxed{14}$ [Sài Gòn]Cho đa thức bậc ba $P(x) = x^3-3x$.

1. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt sao cho \[P(a)=b,\,P(b)=c,\,P(c)=a.\]
2. Giả sử tồn tại ba bộ số thực $\left( a_i, \,b_i, \,c_i)\right)$ với $\overline {1,{\mkern 1mu} 3} $ gồm $9$ số đôi một phân biệt sao cho $P\left( {{a_i}} \right) = {b_i},{\mkern 1mu} P\left( {{b_i}} \right) = {c_i},{\mkern 1mu} P\left( {{c_i}} \right) = {a_i},\, \overline {1,{\mkern 1mu} 3}.$ Đặt ${S_i} = {a_i} + {b_i} + {c_i},\,\overline {1,{\mkern 1mu} 3}.$ Chứng minh rằng ${S_1}^2 + S_2^2 + S_3^2 \ne {S_1}{S_2} + {S_2}{S_3} + {S_3}{S_1}.$

$\boxed{15}$ [Sài Gòn] Cho hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn \[\begin{array}{l}
{\left( {f\left( {{x^3} + x} \right)} \right)^2} \le f\left( {2x} \right) + 2,{\mkern 1mu} {\left( {f\left( { - 2x} \right)} \right)^3} \ge 3f\left( { - {x^3} - x} \right) + 2\\
\end{array},\quad\forall x\in\mathbb{R}.\]

1. Chứng minh rằng $f(x)$ không phải đơn ánh trên $\mathbb{R}.$
   
   
2. Chứng minh rằng $f(x)\ge -1,\quad\forall x \in\mathbb{R}$.

$\boxed{16}$ [Ninh Bình] Cho hai dãy số dương và đều là dãy tăng là $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$, biết rằng $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là một cấp số cộng và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là một cấp số nhân, đồng thời $a_1=b_1,\;a_n=b_n$ với $n>2$, chứng minh rằng\[a_k>b_k\quad\forall\,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1.\]

$\boxed{17}$ [Ninh Bình] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$, có các hệ số là các số thực không âm. Biết rằng $P(0)=0,\,P(1)=1$ và \[P(x)\ge x^{2018}\quad\forall\,x\ge 0.\]


Sẽ update thường xuyên..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]