Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận

[MATHSCOPE]

Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, trang www.mathscope.org kết hợp với phong trào BM2E lại mở chuyên mục này. Công việc này, không có mục đích nào lớn hơn là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo hữu ích.

Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:

1. Các bài toán Đại Số.
2. Các bài toán Số Học.
3. Các bài toán Hình Học.
4. Các bài toán Giải Tích.
5. Các bài toán Rời Rạc.

Chúng tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm. Một số đề mà chúng tôi không chủ động sưu tập được, mong các thành viên đóng góp thêm.

Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học.

Các bài toán Số Học

1. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Bắt đầu từ gốc tọa độ $O\left(0;\,0\right)$, người ta di chuyển một vật đến các điểm hữu tỷ. Sau mỗi lần di chuyển, vị trí mới cách vị trí trước đó đúng môt đơn vị.
   1. Chứng tỏ rằng, có thể di chuyển vật đến điểm $M\left( {\frac{1}{5};\,\frac{{16}}{13}} \right)$.
   2. Có thể di chuyển vật đến điểm $N\left( {\frac{1}{2019};\,\frac{{1}}{2020}} \right)$ được không? Tại sao?
   
   
2. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm các số nguyên dương $n,\,k$ số nguyên tố Fermat $p$ sao cho\[p^n+n=(n+1)^k.\]
3. [Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.
   
   
4. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Tìm các số nguyên dương $a$ và $n$ sao cho $a^{n^2+2n-1}-99$ là một số chính phương.
   
   
5. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_0} = 1,\:{a_1} = 6,\:{a_2} = 25$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 5{a_{n + 2}} - 5{a_{n + 1}} + {a_n}.\]Chứng minh rằng, nếu $2^{2019}\mid n$ thì $2^{4019}\mid a_n$.
   
   
6. [Ninh Bình] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_1} = 2,\:{a_2} = 20,\:{a_3} = 56$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 7{a_{n + 2}} - 11{a_{n + 1}} + 5{a_n} - {3.2^n}.\]Tìm số dư khi đem $a_{2019}$ chia $2019$.
   
   
7. [Cần Thơ]Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng\[p\mid \left( {\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89} \right).\]
8. [Lâm Đồng]Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ lớn hơn $2$, sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $a$ thỏa mãn\[\left( {{a^n} + {a^2} - 1} \right)\mid \left( {{a^m} + a - 1} \right).\]
9. [Bình Dương] Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ để $2020^n$ viết được thành tổng lập phương của $2019$ số nguyên dương chẵn liên tiếp.
   
   
10. [Bình Dương] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên còn $p$ là một số nguyên tố. Biết rằng, $P(x)$ có ba nghiệm $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $p\nmid \left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)$. Chứng minh rằng $abc+ca$ chia hết cho $p^3$.
    
    
11. [Đồng Tháp] Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^4+10a^2+2^b$ là một số chính phương.
    
    
12. [Bến Tre] Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $F_n=2^{2^n}+1$.
    1. Chứng minh rằng $\gcd\left(F_m,\,F_k\right)=1$ nếu $k$ và $m$ là các số nguyên dương phân biệt.
    2. Tìm chữ số tận cùng khi viết trong hệ thập phân của \[M = \text{lcm}\left( F_1,\, F_2,\, \ldots ,\,F_{2019} \right).\]
    
    
13. [Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$
14. [Khánh Hòa] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]
15. Phú Thọ. Tìm các số tự nhiên $k,\,m,\,n$ sao cho \[k^3=5^m+7^n.\]
16. Nghệ An. Cho số nguyên dương $n$ và $S\,=\,\{1,2,3,...,n\}.$ Gọi $c_n$ là số các tập con của $S$ mà chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp. CMR:
    $$c_n\,=\,\frac{2nF_{n+1}-(n+1)F_n}{5}.$$
17. Đại Học Vinh. Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa: $1\,+\,2^x\,=\,3^y\,+\,2.4^z.$
18. Thanh Hóa. Cho $p$ là số nguyên tố sao cho $p\, \equiv \,1\,(\bmod \,4).$ Hãy tính $\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {([\frac{{2{k^2}}}{p}]\, - \,2[\frac{{{k^2}}}{p}])} \,$ trong đó $[a]$ kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $a.$
19. Lào Cai. Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x,\,y$ thỏa:
    $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1\,=\,y^3\,-\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
    $\,a.\,$ Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1.$ CMR $q\,\equiv\,0\,(\bmod \,p)$ hoặc $q\,\equiv\,1\,(\bmod \,p).$
    $\,b.\,$ Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên dương.
20. Kiên Giang. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ để $p^2\,+\,15pq\,+\,q^2$ là:
    $\,a.\,$ Một lũy thừa của $17.$
    $\,b.\,$ Một số chính phương.
21. Phú Yên. Cho $p$ là số nguyên tố, $p\,=\,4k+1,\,k\,\in\,mathbb{N^*}.$ Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ mà $n^2\,+\,2^n$ chia hết cho $2p?$
22. Tây Ninh.
    $\,a.\,$ Cho $p$ là số nguyên tố với $p\,\equiv \,5\,(\bmod\,8)$ và $x,y$ là các số nguyên sao cho $x^4\,+\,y^4$ chia hết cho $p.$ CMR $x $ và $y$ đều chia hết cho $p.$
    $\,b.\,$ Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $15a+16b$ và $16a-15b$ đều là các số chính phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nhỏ hơn trong hai số chính phương đó.
23. Hải Phòng.
    $\,a.\,$ Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ để $3a+1$ và $4a+1$ đều là các số chính phương.
    $\,a.\,$ CMR nếu số tự nhiên $a$ thỏa ý $a)$ ở trên thì $a(a-4)$ chia hết cho $13.$
24. Tây Ninh. Số nguyên tố "tử tế " là số nguyên tố được viết dưới dạng $a^3\,-\,b^3,$ ở đây $a,b$ là các số nguyên dương. Tìm chữ số cuối của số nguyên tố "tử tế" này.
25. Kon Tum. $\,a.\,$ Viết số $2019^{2020}$ thành tổng của $n$ số nguyên dương một cách tùy ý như sau:
    ${2019^{2020}}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} .$ Tìm số dư khi chia $ \sum\limits_{k = 1}^n {{{a_k}^7}}}$ cho $7.$
    $\,b.\,$ Đặt $a_n\,=\,2019^n\,+\,1$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm các số nguyên tố $p$ thỏa $a_p$ chia hết cho $p.$
26. Nghệ An. CMR tồn tại dãy nguyên dương $(a_k)$ sao cho: $\frac{{a_{k + 1}^2\, + \,7}}{{{2^{k + 1}}}}$ chia hết cho $\frac{{a_k^2\, + \,7}}{{{2^k}}}$ với mọi $k\,\geqslant\,3.$
27. Đồng Nai. Tìm các số nguyên dương $a,\,b,\,n$ với $a,\,b$ là hai số nguyên tố, $n$ là số chẵn lớn hơn $2$ sao cho: $$a^n\,+\,a^{n-1}\,+...+a\,+\,1\,=\,b^2\,+\,b\,+1.$$
28. Quảng Ngãi.
    $\,a.\,$Cho $n$ là số nguyên dương có ít nhất $6$ ước nguyên dương. Gỉa sử các ước nguyên dương của $n$ được sắp xếp theo thứ tự sau: $1\,=\,d_1\,<\,d_2\,<...<d_k\,=\,n$ với $k\,\geqslant\,6.$ Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $n\,=\,{d_5}^2\,+\,{d_6}^2.$
    $\,b.\,$ Cho $p$ là số nguyên tố. CMR tồn tại các số nguyên $x,\,y,\,z,\,n$ với $0\,<n\,<\,p$ sao cho $x^2\,+\,y^2\,+\,z^2\,-\,np\,=\,0.$
29. Quang Trung. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\,q$ sao cho: $11^p\,+\,17^p$ chia hết cho $3p^{q-1}\,+\,1.$
30. Yên Bái. Với mỗi số nguyên $n\,\geqslant\,2,$ đặt $A_n\,=\,2^{2^n}\,+\,2^{2^{n-1}}\,+\,1.$ CMR với mọi số nguyên $n\,\geqslant\,2$ $A_n$ là hợp số và có ít nhất $n$ ước số nguyên tố phân biệt.
31. Đắc Lắc. Cho trước $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2.$ Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho $\sqrt{k^2\,-\,2pk}$ cũng là số nguyên dương.
32. Vĩnh Long. CMR tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $2^n\,+\,1$ chia hết cho $n.$
33. Bắc Ninh. Cho số nguyên tố $p.$ CMR tồn tại vô số số tự nhiên $n$ thỏa:
    $2020^{n+2019}\,\equiv \,n\,+\,2018\,(\bmod\,p).$
34. Hải Dương. Tìm các bộ số nguyên dương $(a,p,n)$ với $p$ nguyên tố thỏa $a^p\,+\,1\,=\,(a\,+\,1)^n.$
35. Chuyên Quang Trung. Cho số nguyên tố $p\,=\,3k\,+\,2,$ $k\,\in\,\mathbb{N}.$
    $\,a.\,$ CMR $a^3\,\equiv\,b^3\,(\bmod\,p)$ khi và chỉ khi $a\,\equiv\,b\,(\bmod\,p).$
    $\,b.\,$ Cho đa thức $P(x)\,=\,x^3\,+\,3x^2\,+\,3x\,+\,2.$ CMR tồn tại vô số số nguyên $n$ để $P(n)$ chia hết cho $p.$
36. Chuyên Lê Hồng Phong. Tìm tất cả các số nguyên dương $n,\,x$ sao cho $4x^n\,+\,(x\,+\,1)^2$ là số chính phương.
37. Chuyên Lê Hồng Phong. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,m,n$ với $(m,\,n)\,=\,1$ thỏa:
    $(a^2\,+\,b^2)^m\,=\,(ab)^n.$
38. Khánh Hòa. CMR với mỗi số nguyên dương $n,$ tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho $n\,=\,\frac{1}{2}(a\,+\,b\,-\,1)(a\,+\,b\,-\,2)\,+\,a.$
39. Hà Nam. Cho $q$ là số nguyên tố lớn hơn $2$ và $Q\,=\,(2q)^{2q}\,+\,(2q)!\,+\,((2q)!)^{2q}.$ CMR $Q$ có một ước nguyên tố $p\,>\,2q.$
40. Hà Nam. Với số nguyên tố $p$ ở câu trên, giả sử $p\,=\,x\,+\,y,$ trong đó $x,\,y$ nguyên dương. CMR tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(x,\,y)$ sao cho $(x!)^y\,+\,(y!)^x\,+\,1$ chia hết cho $p.$
    

Sẽ update thường xuyên..
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]