Đề thi olimpic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012 - Page 2

ngocson_dhsp · 06-02-2012, 12:52 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ThangToan

Xét hàm số $g(x)=f(x)-1+x $ dễ thấy $g(x) $ liên tục trên đoạn $[0;1] $ và $g(0).g(1)=-1<0 $ suy ra tồn tại $c\in (0;1) $ sao cho $g(c)=0 $ hay $f(c)=1-c $.
Tiếp theo ta sử dụng định lí Lagrange tồn tại $a\in (0;c), b\in (c;1) $ sao cho:
$f(c)-f(0)=f'(a)(c-0); f(1)-f(c)=f'(b)(1-c) $ Từ đó suy ra:
$f'(a).f'(b)=\frac{1-c}{c}.\frac{c}{1-c}=1 $

Đã có kết quả Vòng 1 chưa ạ,post danh sách lên được không ạ???

kynamsp · 06-02-2012, 02:41 PM

Anh em có đề đại số không post lên cho bà con tham khảo với

LichKing · 06-02-2012, 05:35 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ngocson_dhsp

Đã có kết quả Vòng 1 chưa ạ,post danh sách lên được không ạ???

Chưa có đâu bạn, chắc thông báo trên trang web của trường trong thời gian sớm thôi

thinhptnk · 16-02-2012, 08:08 PM

Bài 5 không cần liên tục, thử khai triển $\int_0^1(f(x)-ax-b)^2 $ rồi đồng nhất hệ số xem.

nguyendung_hy · 17-02-2012, 07:20 AM

Bạn Thangtoan chỉ dùm mình cách tìm ra lời giải đó được không?
bạn suy nghĩ ntn mà tìm ra được như vậy?

Allnames · 21-02-2012, 01:32 AM

Trích:

Nguyên văn bởi LichKing

Đây là đề vòng 1 thôi anh, chọn người được giải rồi tiếp vòng hai nữa

Đề vòng 2 còn khoai hơn thế này nhiều nữa bạn à :-ss.
Không chỉ có anh Mạnh tuyệt đối mà còn cả anh Nguyễn Mạnh Đức nữa cũng tiềm năng là tuyệt đối luôn đấy.
Mà không biết đã có kết quả chưa :S

LichKing · 29-02-2012, 10:28 PM

Dưới đây là đề thi vòng hai, các bạn đánh giá và tiếp tục thảo luận!
Câu 1 : Cho dãy số $x_1=2,\ x_{n+1}=\sqrt{x_n+\dfrac{1}{n}}$. Chứng minh rằng : $\lim_{n \to +\infty}x_n=1$ và tìm $\lim_{n \to +\infty} x_n^n$
Câu 2 : Cho $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm liên tục, với mỗi $x \in \mathbb{R}$ ta xác định hàm số :$$g(x)=f(x)\left(\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^{2011} $$ Chứng minh rằng nếu hàm số $g$ là hàm không tăng thì $f(x)=0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
Câu 3 : Cho hàm số $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ có $f'$ liên tục trên $[a, b]$ và tồn tại $x_0 \in (a, b]$ sao cho $f'(x_0)=0$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho : $f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{b-a}$
Câu 4 : Tìm tất cả các hàm số liên tục $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(f(f(x)))=x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
Câu 5 : Cho $f : [0, +\infty) \to (0, +\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn $\lim\limits_{x \to +\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại hữu hạn. Chứng minh rằng : $$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}d t=0$$Câu 6 : Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a, b]$ và phương trình $f(x)=0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a, b]$. Chứng minh rằng : $$\max\limits_{x \in [a, b]}|f(x)| \le \frac{(b-a)^n}{n!}\max\limits_{x \in [a, b]}|f^{(n)}(x)|$$

17-02-2012, 07:20 AM	#20
nguyendung_hy +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: số 345 đường giải phóng hà nội Bài gởi: 80 Thanks: 46 Thanked 27 Times in 23 Posts	Bạn Thangtoan chỉ dùm mình cách tìm ra lời giải đó được không? bạn suy nghĩ ntn mà tìm ra được như vậy? __________________ the greatest love of all is to love yourself

06-02-2012, 02:41 PM	#17
kynamsp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 135 Thanks: 78 Thanked 65 Times in 40 Posts	Anh em có đề đại số không post lên cho bà con tham khảo với

16-02-2012, 08:08 PM	#19
thinhptnk +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Đại học Bôn Ba Bài gởi: 128 Thanks: 189 Thanked 33 Times in 24 Posts	Bài 5 không cần liên tục, thử khai triển $\int_0^1(f(x)-ax-b)^2 $ rồi đồng nhất hệ số xem.

29-02-2012, 10:28 PM	#22
LichKing +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 75 Thanks: 39 Thanked 54 Times in 33 Posts	Dưới đây là đề thi vòng hai, các bạn đánh giá và tiếp tục thảo luận! Câu 1 : Cho dãy số $x_1=2,\ x_{n+1}=\sqrt{x_n+\dfrac{1}{n}}$. Chứng minh rằng : $\lim_{n \to +\infty}x_n=1$ và tìm $\lim_{n \to +\infty} x_n^n$ Câu 2 : Cho $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm liên tục, với mỗi $x \in \mathbb{R}$ ta xác định hàm số :$$g(x)=f(x)\left(\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^{2011} $$ Chứng minh rằng nếu hàm số $g$ là hàm không tăng thì $f(x)=0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ Câu 3 : Cho hàm số $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ có $f'$ liên tục trên $[a, b]$ và tồn tại $x_0 \in (a, b]$ sao cho $f'(x_0)=0$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho : $f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{b-a}$ Câu 4 : Tìm tất cả các hàm số liên tục $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(f(f(x)))=x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ Câu 5 : Cho $f : [0, +\infty) \to (0, +\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn $\lim\limits_{x \to +\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại hữu hạn. Chứng minh rằng : $$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}d t=0$$Câu 6 : Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a, b]$ và phương trình $f(x)=0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a, b]$. Chứng minh rằng : $$\max\limits_{x \in [a, b]}\|f(x)\| \le \frac{(b-a)^n}{n!}\max\limits_{x \in [a, b]}\|f^{(n)}(x)\|$$