Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Trần Phú - Hải Phòng

[CSS-MU]

Bài 1 (2,0 điểm)

1. Cho biểu thức $P=\left(\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1+\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right). $
   Rút gọn $P. $ Tìm $x $ để $P\le 0. $
2. Cho phương trình $x^2-2(m+2)x+2m+2=0 $ ($m $ là tham số). Tìm $m $ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2 $ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài là $\frac{\sqrt{6}}{3}. $

Bài 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình $\sqrt{x-3+\sqrt{2x-7}}+\sqrt{x+1+3\sqrt{2x-7}}=9\sqrt{2}. $
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x^2+4y^2=4\\&4xy+x+2y=2\end {aligned}\right.. $

Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC $ nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm $O. $ Các đường cao $AD,BE,CF,\,(D\in BC,E\in CA,F\in AB). $ Gọi $I,J,K $ lần lượt là trực tâm các tam giác $AEF,BFD,CDE. $

1. Chứng minh $DI,EJ,FK $ đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
2. Chứng minh $AI,BJ,CK $ đồng quy tại $O. $
3. Gọi $M,N $ là hình chiếu vuông góc hạ từ $D $ xuống $AB,AC;\,P,Q $ lần lượt là hính chiếu vuông góc hạ từ $E $ xuống $BC,BA;\,R,S $ lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ $F $ xuống $CA,CB. $ Chứng minh $M,N,P,Q,R,S $ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4. (2,0 điểm)

1. Chứng minh $a^3+b^3\ge ab(a+b)\;\forall a,b\ge 0. $
2. Cho $a,b,c\ge 0 $ và $abc=\frac{9}{4}. $ Chứng minh $a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}. $
3. Tìm số dư của $\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^{2011}\right] $ khi chia cho $3, $ với $[x] $ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x. $

Bài 5 (1,0 điểm)
Trong bảng $4\,\text{x}\,4 $ ô vuông có 1 trong 8 ô ở biên nhưng không phải là góc của bảng điền số $-1 $ và 15 ô còn lại điền số $1. $ Một lượt, chọn 1 hàng hoặc 1 cột hoặc 1 đường chéo tùy ý (kể cả đường chéo chỉ gồm 1 ô góc), sau đó đổi dấu tất cả các ô trong đó. Hỏi có thể đến một lúc nào đó thu được tất cả các ô trong bảng đều là số $1 $ không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Bài 5 dùng bất biến bình thường mà . Để ý tích của 4 góc =1 và ban đầu tích 16 số =$-1 $. Nên không thể thu được bảng chỉ gồm toàn số 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi CSS-MU

Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác [M]ABC[/M] nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm [M]O.[/M] Các đường cao [M]AD,BE,CF,\,(D\in BC,E\in CA,F\in AB).[/M] Gọi [M]I,J,K[/M] lần lượt là trực tâm các tam giác [M]AEF,BFD,CDE.[/M]

1. Chứng minh [M]DI,EJ,FK[/M] đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
2. Chứng minh [M]AI,BJ,CK[/M] đồng quy tại [M]O.[/M]
3. Gọi [M]M,N[/M] là hình chiếu vuông góc hạ từ [M]D[/M] xuống [M]AB,AC;\,P,Q[/M] lần lượt là hính chiếu vuông góc hạ từ [M]E[/M] xuống [M]BC,BA;\,R,S[/M] lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ [M]F[/M] xuống [M]CA,CB.[/M] Chứng minh [M]M,N,P,Q,R,S[/M] cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 5 (1,0 điểm)
Trong bảng [M]4\,\Mt{x}\,4[/M] ô vuông có 1 trong 8 ô ở biên nhưng không phải là góc của bảng điền số [M]-1[/M] và 15 ô còn lại điền số [M]1.[/M] Một lượt, chọn 1 hàng hoặc 1 cột hoặc 1 đường chéo tùy ý (kể cả đường chéo chỉ gồm 1 ô góc), sau đó đổi dấu tất cả các ô trong đó. Hỏi có thể đến một lúc nào đó thu được tất cả các ô trong bảng đều là số [M]1[/M] không?

Bài 4.

1.
Ta sẽ chứng minh [M]DFIK[/M] là hình bình hành, từ đó suy ra khẳng định của bài toán.
Muốn vậy, chỉ cần chứng minh [M]DK=FI[/M] là đủ.
Gọi [M]M,N,P,Q[/M] lần lượt là trung điểm [M]HA,HC,EA,EC[/M].
Khi đó [M]M,N[/M] là tâm ngoại tiếp các tam giác [M]AEF,CDE[/M].
Áp dụng một bổ đề quen thuộc, ta có [M]FI=2MP, DK=2NQ[/M].
Mà [M]MP=NQ[/M] do [M]MN \parallel AC[/M] và [M]MP,NQ \bot AC[/M].
Suy ra [M]FI=DK[/M] (đccm)
2.
Ta có [M]\widehat{FAI}=90^\circ-\widehat{AFE}=90^\circ-\widehat{ACB}=\widehat{BAO}[/M].
Do đó [M]A,I,O[/M] thẳng hàng.
Từ đó suy ra đpcm.
3.
[Only registered and activated users can see links. ]

Bài 5.
Xét tích 8 số ở biên. Ban đầu tích đó bằng [M]-1[/M], sau mỗi lần đổi dấu các số, có 2 hoặc 0 số trong tích đổi dấu. Do đó giá trị của tích luôn không đổi và bằng [M]-1[/M].
Nếu tất cả các số trong bảng đều bằng [M]1[/M] thì tích của 8 số đó bằng [M]1[/M], vô lý.
Vậy không thể xảy ra trường hợp tất cả các số trong bảng bằng [M]1[/M].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

Nguyên văn bởi CSS-MU

[B]
Bài 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình $\sqrt{x-3+\sqrt{2x-7}}+\sqrt{x+1+3\sqrt{2x-7}}=9\sqrt{2}. $
2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x^2+4y^2=4\\&4xy+x+2y=2\end {aligned}\right.. $

Bài 4. (2,0 điểm)[LIST=1][*]Chứng minh $a^3+b^3\ge ab(a+b)\;\forall a,b\ge 0. $[*]Cho $a,b,c\ge 0 $ và $abc=\frac{9}{4}. $ Chứng minh $a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}. $

Bài 2
Câu a: Nhân $\sqrt{2} $ và 2 vế. Rồi khai căn là xong
Câu b, cộng 2 pt ta có:
$(x^2+4xy+4y^2)+(x+2y) = 6 $
Suy ra $(x+2y)^2+(x+2y)-6=0 $
Tới đây dễ rồi

Bài 4,
Ta có $a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b} \leq\sqrt{3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2)} \leq \sqrt{6(a^3+b^3+c^3)} $
Ta có $a^3+b^3+c^3 \geq 3abc > 6 $ ( abc= $\frac{9}{4} $ )
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3 > \sqrt{6(a^3+b^3+c^3)} $
$\Rightarrow $ đfcm


@:caubemetoan96: Em chú ý viết hoa đầu dòng nhé. Dấu $\Rightarrow $ viết là \Rightarrow em nhé. Chú ý trình bày cho khoa học
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Hướng nhìn khác cho $FI=DK $ trong bài 3 câu 1:

$FI=AE.\cot \angle{AFE} = AE.\cot \angle{C} $

$DK= CE\cot \angle{CDE}=CE \cot \angle{A} $

Ta cần chứng minh rẳng $AE.\cot \angle{C} = CE.\cot \angle{A} $

$\Leftrightarrow \frac{AE.CD}{AD}=\frac{CE.AE}{BE} $

$\Leftrightarrow \frac{CD}{CE}=\frac{AD}{BE} $

Đẳng thức này được suy ra từ công thức diện tích:

$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}=\frac{AD}{BE} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Nguyên văn bởi novae

Bài 5.
Xét tích 8 số ở biên. Ban đầu tích đó bằng [M]-1[/M], sau mỗi lần đổi dấu các số, có 2 hoặc 0 số trong tích đổi dấu. Do đó giá trị của tích luôn không đổi và bằng [M]-1[/M].
Nếu tất cả các số trong bảng đều bằng [M]1[/M] thì tích của 8 số đó bằng [M]1[/M], vô lý.
Vậy không thể xảy ra trường hợp tất cả các số trong bảng bằng [M]1[/M].

Nếu chỉ đổi dấu 1 ô ở góc thì chỉ có 1 số trong tích đôỉi dấu thôi mà anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi conami

Nếu chỉ đổi dấu 1 ô ở góc thì chỉ có 1 số trong tích đôỉi dấu thôi mà anh?

Anh đang xét ở đây là 8 số ở biên nhưng không phải ở góc bảng mà em. Nên khi đổi dấu một hàng, cột hoặc một đường chéo bất kì thì không số nào trong tích đổi dấu hoặc có đúng 2 số đổi dấu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi novae

Bài 5.
Xét tích 8 số ở biên. Ban đầu tích đó bằng [M]-1[/M], sau mỗi lần đổi dấu các số, có 2 hoặc 0 số trong tích đổi dấu. Do đó giá trị của tích luôn không đổi và bằng [M]-1[/M].
Nếu tất cả các số trong bảng đều bằng [M]1[/M] thì tích của 8 số đó bằng [M]1[/M], vô lý.
Vậy không thể xảy ra trường hợp tất cả các số trong bảng bằng [M]1[/M].

Làm gì mà rắc rối thế .Để ý chút là thấy bất biến ở đây là gì thôi
Đặt $A $ là tích của 4 số ở góc, $B $ là tích của 16 số ở bảng. Khi đó sau mỗi lần đổi dấu tích $AB=const=-1 $
Vậy không thể chuyển tất cả các số ở bảng thành toàn số $1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pth_tdn]

4.3. Trước hết ta xét tổng $S_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n $
Đặt $a=2+\sqrt{3};b=2-\sqrt{3} $
Ta có $a+b=4; ab=1 $
Từ đó lập được hệ thức $S_{n+2}=4S_{n+1}-S_n $, suy ra $S_n $ luôn nguyên.
$S_{n+2}=4(4S_n-S_{n-1})-S_n \equiv -4S_{n-1} \equiv 2S_{n-1} \equiv 4S_{n-4} \equiv S_{n-4} (mod 3) $
Từ đó dễ có $S_{2011} \equiv S_{1}=4 \equiv 1 (mod 3) $
Chú ý là $(2-\sqrt{3})^n<1 $ ta có $[(2+\sqrt{3})^n]=S_n-1 $
Do vậy $[(2+\sqrt{3})^{2011}] \vdots 3 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[SuperMickey]

Ê A phải là tích của 2 đường chéo chứ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kaka7596]

Ai làm giúp em bài 4 phần 1,2
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

Nguyên văn bởi kaka7596

Ai làm giúp em bài 4 phần 1,2

Bài 4.1 thì chỉ cần biến đổi tương đương là ra

bạn trừ đi

Còn 4.2 tờ giải rồi, ở trên ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]