Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 22-06-2011, 01:07 PM   #1486
LamMap17
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2009
Bài gởi: 13
Thanks: 7
Thanked 8 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi madman View Post
Cho $x,y,z>0 $. CMR:
$(x+y+z)^2(x^3y+y^3z+z^3x)\geq (xy+yz+zx)^3 $
Sử dụng BĐT Holder ta có :
$ (x+y+z)^2(x^3y+y^3z+z^3x)= (y+z+x)(y+z+x)(x^3y+y^3z+z^3x) \ge (xy+yz+xz)^3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
LamMap17 is offline  
The Following User Says Thank You to LamMap17 For This Useful Post:
nguyenvanphung (23-06-2011)
Old 22-06-2011, 04:19 PM   #1487
kid3494
+Thành Viên+
 
kid3494's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 53
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG View Post
Bất đẳng thức này nói chung không đúng vì nếu $x,y \in [0,1] $ thì

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + y^{2}}} \leq \frac{2}{\sqrt{1 + xy}} $
Xin lỗi, điều kiện phải là $x, y > = 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kid3494 is offline  
Old 22-06-2011, 06:14 PM   #1488
bluesun
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Đến từ: from nothingness
Bài gởi: 11
Thanks: 2
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bđt Lagrange

Cho các số thực thỏa $a\leq 6,b\leq 8,c\leq 3 $.
CMR : $x^{4}-ax^{2}-bx-c\geq 0 $ $\forall x\geq 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bluesun is offline  
Old 23-06-2011, 11:54 AM   #1489
na_ru_to_1996
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 11
Thanks: 10
Thanked 1 Time in 1 Post
Gọi $s,t,u,v $ là các số nằm trong $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right) $ sao cho:
$s+t+u+v=\pi $
Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{2}\sin s-1}{\cos s}+\frac{\sqrt{2}\sin t-1}{\cos t}+\frac{\sqrt{2}\sin u-1}{\cos u}+\frac{\sqrt{2}\sin v-1}{\cos v}+\geq 0 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 23-06-2011 lúc 12:02 PM
na_ru_to_1996 is offline  
Old 23-06-2011, 12:33 PM   #1490
nho_ngOx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: TP.HCM
Bài gởi: 41
Thanks: 58
Thanked 8 Times in 7 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới nho_ngOx
Trích:
Nguyên văn bởi na_ru_to_1996 View Post
Gọi $s,t,u,v $ là các số nằm trong $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right) $ sao cho:
$s+t+u+v=\pi $
Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{2}\sin s-1}{\cos s}+\frac{\sqrt{2}\sin t-1}{\cos t}+\frac{\sqrt{2}\sin u-1}{\cos u}+\frac{\sqrt{2}\sin v-1}{\cos v}\geq 0 $

Đặt $a=\tan s, b=\tan t, c=\tan u, d=\tanv (a,b,c,d>0) $
$s+t+u+v=\pi $
$\Rightarrow \tan(s+t)+\tan(u+v)=0 $
$\Rightarrow \frac{a+b}{1-ab}+\frac{c+d}{1-cd}=0 $
$\Rightarrow a+b+c+d=abc+abd+acd+bcd $
$\Rightarrow (a+b)(a+c)(a+d)=a^{2}(a+b+c+d)+abc+abd+acd+bcd=(a^ {2}+1)(a+b+c+d) $
BCS:$2(a+b+c+d)^{2}=[(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)][\frac{a^{2}+1}{a+b}+\frac{b^{2}+1}{b+c}+\frac{c^{2 }+1}{c+d}+\frac{d^{2}+1}{d+a}]
\geq \sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}+\sqrt {d^{2}+1} $
$\Rightarrow \sqrt{2}(a+b+c+d)\geq \sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}+\sqrt {d^{2}+1} $
$\Leftrightarrow \frac{1}{\cos s}+\frac{1}{\cos t}+\frac{1}{\cos u}+\frac{1}{\cos v}\leq \sqrt{2}(\tan s+\tan t+\tan u+\tan v) $
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}\sin s-1}{\cos s}+\frac{\sqrt{2}\sin t-1}{\cos t}+\frac{\sqrt{2}\sin u-1}{\cos u}+\frac{\sqrt{2}\sin v-1}{\cos v}\geq 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó.

The essence of mathematics lies in its freedom.
Georg Cantor

thay đổi nội dung bởi: novae, 23-06-2011 lúc 12:37 PM Lý do: Cần phải học gõ LaTeX tử tế trước khi post bài.
nho_ngOx is offline  
The Following User Says Thank You to nho_ngOx For This Useful Post:
na_ru_to_1996 (23-06-2011)
Old 23-06-2011, 01:19 PM   #1491
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi truongvoki_bn View Post
[Only registered and activated users can see links. ]

Còn đây là lời giải của mình:
Bất đẳng thức tương đương:
$(\sum_{sym}{a})(\sum_{sym}{\frac{1}{a}})-2\sqrt{(\sum_{sym}{a})(\sum_{sym}{\frac{1}{a}})} \ge \sqrt{(\sum_{sym}{a^2})(\sum_{sym}{\frac{1}{a^2}) $
Đây là bất đẳng thức thuần nhất, không mất tính tổng quát giả sử $abc=1 $Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q $
Để ý:
$\sum_{sym}{a^2b^2}=q^2-2p $
Ta cần chứng minh: $pq-2\sqrt{pq}\ge \sqrt{(p^2-2q)(q^2-2p)}\Leftrightarrow (pq-2\sqrt{pq})^2\ge (p^2-2q)(q^2-2p) \Leftrightarrow p^3+q^3\ge 2\sqrt{(pq)^3} $ (Đúng theo AM-GM)
Ta có đpcm
Chú ý rằng

$\[(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = (ab + bc + ca)\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right).\] $

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ngay điều phải chứng minh

$\begin{aligned}
(a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) &= \sqrt {\left( {\sum {{a^2} + 2\sum {ab} } } \right)\left( {\sum {\frac{1}{{{a^2}}} + 2\sum {\frac{1}{{ab}}} } } \right)} \\
&\ge \sqrt {\left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {\frac{1}{{{a^2}}}} } \right)} + 2\sqrt {\left( {\sum a } \right)\left( {\sum {\frac{1}{a}} } \right)} .
\end{aligned} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline  
Old 23-06-2011, 05:22 PM   #1492
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Bất đẳng thức 2 biến: cho $x,y\geqslant 0;x+y=2 $.Chứng minh rằng:
$(x^4+y^4)(x^2+y^2)^4\leqslant \frac{32}{x^{10}y^{10}} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
Old 23-06-2011, 05:35 PM   #1493
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khtoan View Post
Bất đẳng thức 2 biến: cho $x,y\geqslant 0;x+y=2 $.Chứng minh rằng:
$(x^4+y^4)(x^2+y^2)^4\leqslant \frac{32}{x^{10}y^{10}} $
Bất đẳng thức trên thực chất là hệ quả của 2 bất đẳng thức sau:
1)
$x^6y^6(x^4+y^4)\le 2 $
2)
$xy(x^2+y^2)\le 2 $
Chứng minh 2): Ta có:
$xy(x^2+y^2)\le \frac{(x^2+y^2+2xy)^2}{8}=2 $
Chứng minh 1): Ta có:
$x^6y^6(x^4+y^4)\le \frac{x^4y^4(x^4+y^4+2x^2y^2)^2}{8}=\frac{(xy(x^2+ y^2))^4}{8}\le 2 $
Từ đó ta có đpcm.
Đẳng thức chỉ xảy ra khi $a=b=1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline  
The Following User Says Thank You to MathForLife For This Useful Post:
khtoan (23-06-2011)
Old 23-06-2011, 07:32 PM   #1494
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khtoan View Post
Bất đẳng thức 2 biến: cho $x,y\geqslant 0;x+y=2 $.Chứng minh rằng:
$(x^4+y^4)(x^2+y^2)^4\leqslant \frac{32}{x^{10}y^{10}} $
Lời giải của bạn MathForLife rất hay.Thanks phát . Sau đây là lời giải của mình :
$(x^4+y^4)(x^2+y^2)^4x^{10}y^{10}=\frac{1}{8}(x^4+y ^4)(x^3y+xy^3)^4.(2x^2y^2)^3\leqslant \frac{1}{8}.\frac{((x+y)^4)^8}{8^8}=32 $ (Theo cô si 8 số)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
Old 23-06-2011, 10:11 PM   #1495
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi khtoan View Post
Lời giải của bạn MathForLife rất hay.Thanks phát . Sau đây là lời giải của mình :
$(x^4+y^4)(x^2+y^2)^4x^{10}y^{10}=\frac{1}{8}(x^4+y ^4)(x^3y+xy^3)^4.(2x^2y^2)^3\leqslant \frac{1}{8}.\frac{((x+y)^4)^8}{8^8}=32 $ (Theo cô si 8 số)
Tổng quát hơn, ta có kết quả sau:
Trích:
Cho $a,b>0 $ thoả mãn $a+b=2 $. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi n nguyên dương:
$\sqrt{a^{n(n-1)}b^{n(n-1}}(a^n+b^n)\le 2 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline  
Old 23-06-2011, 10:25 PM   #1496
Quydo
+Thành Viên+
 
Quydo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Bài gởi: 182
Thanks: 143
Thanked 79 Times in 55 Posts
Bài này là bài số 5 trong đề thi vào lớp 10 THPT Vĩnh Phúc.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm max của
$P=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b+ca}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MH
MH
Quydo is offline  
Old 23-06-2011, 10:31 PM   #1497
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi birain9x View Post
Bài 1:Giả sử a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3 $. CMR $ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\leq3 $
[/TEX]
Bài toán này đã được anh Tạ Minh Hoằng (Minhhoang) giải trên MS 1 lần cách đây vài tháng. Mình xin trình bày lại lời giải:
Gọi $(x;y;z) $ là một hoán vị của $(a;b;c) $ sao cho $x\ge y\ge z $. Khi đó theo bất đẳng thức hoán vị ta có:
$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\le x^3y^2+x^2yz^2+z^3y^2 $
do 2 dãy $x;y;z $ và $x^2y^2;z^2x^2;y^2z^2 $ đơn điệu cùng chiều.
Như vậy ta sẽ chứng minh:
$x^3y^2+yx^2z^2+z^3y^2\le 3 $
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$2x^3y^2\le y(x^4+x^2y^2) $
$2z^3y^2\le y(z^4+z^2y^2) $
Chỉ còn cần chứng minh:
$y(x^4+x^2y^2)+y(z^4+z^2y^2)+2yz^2x^2\le 6 $
$\Leftrightarrow y(x^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)\le 6 $
$\Leftrightarrow y(3-y^2)\le 2 $
(vì $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2=3 $ )
$\Leftrightarrow (y-1)^2(y+2)\ge 0 $
Bất đằng thức cuối đúng cho ta đpcm. Đẳng thức chỉ có khi $x=y=z $ hay $a=b=c=1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline  
The Following 3 Users Say Thank You to MathForLife For This Useful Post:
birain9x (25-06-2011), Lil.Tee (26-06-2011), Thanh Ngoc (25-06-2011)
Old 24-06-2011, 07:37 AM   #1498
extremeqx9770
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: Thanh Hoá
Bài gởi: 25
Thanks: 4
Thanked 17 Times in 11 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới extremeqx9770
Trích:
Nguyên văn bởi Quydo View Post
Bài này là bài số 5 trong đề thi vào lớp 10 THPT Vĩnh Phúc.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm max của
$P=\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b+ca}} $
Ta có: $\[\sqrt {\frac{{ab}}{{c + ab}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{1 - a - b + ab}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{(1 - a)(1 - b)}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{(b + c)(c + a)}}} \] $
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: $\[\sqrt {\frac{{ab}}{{c + ab}}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{(b + c)(c + a)}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{c + a}} + \frac{b}{{b + c}}} \right)\] $
Tương tự ta cũng có: $$\sqrt {\frac{{bc}}{{a + bc}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{c + a}}} \right);\sqrt {\frac{{ca}}{{b + ca}}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + b}}} \right)$ $
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho: $${P_{max}} = \frac{3}{2}$ $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
extremeqx9770 is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to extremeqx9770 For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011), Thanh Ngoc (25-06-2011)
Old 24-06-2011, 07:40 AM   #1499
kid3494
+Thành Viên+
 
kid3494's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 53
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 7 Posts
Các bạn giúp minh bài này với
Cho $a, b, c > 0 $
CMR $(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kid3494 is offline  
The Following User Says Thank You to kid3494 For This Useful Post:
Lil.Tee (26-06-2011)
Old 24-06-2011, 08:09 AM   #1500
extremeqx9770
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: Thanh Hoá
Bài gởi: 25
Thanks: 4
Thanked 17 Times in 11 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới extremeqx9770
Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 View Post
Các bạn giúp minh bài này với
Cho $a, b, c > 0 $
CMR $(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq 3(a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a) $
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\[\begin{array}{l}
{({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} \ge 3({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a) \Leftrightarrow 2{({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - 6({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a) \ge 0\\
\Leftrightarrow \sum {{{({a^2} - 2ab + bc - {c^2} + ca)}^2}} \ge 0
\end{array}\] $
Điều này hiển nhiên đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $$a = b = c$ $ hoặc trong bộ 3 số sau và các hoán vị $\[(a,b,c) = k\left( {{{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{7},{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7},{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}} \right)\] $
Bài này mình lấy từ cuốn “ Sáng tạo bất đẳng thức “ của anh Phạm Kim Hùng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
extremeqx9770 is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to extremeqx9770 For This Useful Post:
kid3494 (24-06-2011), Lil.Tee (26-06-2011)
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bất đẳng thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:13 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 103.46 k/119.06 k (13.10%)]