Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm

phuonglvt · 13-10-2010, 03:21 PM

Cho tam giác ABC trực tâm H có các đường cao tương ứng là BE, CF
Một điểm m thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, BM cắt CF tại P, CM cắt BE tại Q, CMR EF đi qua trung điểm của PQ

boyqn · 13-10-2010, 04:47 PM

Gọi $T $ là trung điểm của $PQ $,ta sẽ chứng minh $E,F,T $ thẳng hàng

Ta có $\frac{FH}{FP}=\frac{BF.tanFBH}{BF.tanFBP}=\frac{ta nABH}{tanABM} $ , $\frac{EQ}{EH}=\frac{CE.tanECQ}{CE.tanECH}=\frac{ta nACM}{tanACH} $

Áp dụng định lý Menelaos vào $\Delta QHP $:

$\frac{FH}{FP}.\frac{TP}{TQ}.\frac{EQ}{EH}=\frac{ta nABH}{tanABM}.\frac{tanACM}{tanACH}=1 $ $(\angle ABH=\angle ACH, \angle ABM=\angle ACM) $

Do đó $E,F,T $ thẳng hàng, ta có điều phải chứng minh

13-10-2010, 03:21 PM	#1
phuonglvt +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Bài gởi: 60 Thanks: 29 Thanked 18 Times in 12 Posts	Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm Cho tam giác ABC trực tâm H có các đường cao tương ứng là BE, CF Một điểm m thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, BM cắt CF tại P, CM cắt BE tại Q, CMR EF đi qua trung điểm của PQ

13-10-2010, 04:47 PM	#2
boyqn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Đến từ: thị trấn Quảng Yên,Yên Hưng,Quảng Ninh Bài gởi: 32 Thanks: 36 Thanked 25 Times in 18 Posts	Gọi $T $ là trung điểm của $PQ $,ta sẽ chứng minh $E,F,T $ thẳng hàng Ta có $\frac{FH}{FP}=\frac{BF.tanFBH}{BF.tanFBP}=\frac{ta nABH}{tanABM} $ , $\frac{EQ}{EH}=\frac{CE.tanECQ}{CE.tanECH}=\frac{ta nACM}{tanACH} $ Áp dụng định lý Menelaos vào $\Delta QHP $: $\frac{FH}{FP}.\frac{TP}{TQ}.\frac{EQ}{EH}=\frac{ta nABH}{tanABM}.\frac{tanACM}{tanACH}=1 $ $(\angle ABH=\angle ACH, \angle ABM=\angle ACM) $ Do đó $E,F,T $ thẳng hàng, ta có điều phải chứng minh