Tính bài tích phân nhỏ

[Phú Khánh]

Tính tích phân :$ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^8}dx $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Bài này tác giả Trần Phương có nói là chỉ giải trong 3 dòng với khoảng 5 phép biến đổi !:waaaht: Nội dung pp là giảm bậc của mẫu với cái tên hài hước "Nhảy tầng lầu " tớ thì tớ thích nghe cái tên " Xuống thang" hơn nó đỡ nguy hiểm chứ ko thì vỡ đầu mất ! Ko biết thầy Phú Khánh giải thế nào ạ ?
Nhân đây mời mọi người giúp em bài này :
$I=\int\frac{\sqrt[m]{1+x^{n}}}{x}dx $ với $m,n $nguyên dương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathman145]

Nguyên văn bởi evarist

Bài này tác giả Trần Phương có nói là chỉ giải trong 3 dòng với khoảng 5 phép biến đổi !:waaaht: Nội dung pp là giảm bậc của mẫu với cái tên hài hước "Nhảy tầng lầu " tớ thì tớ thích nghe cái tên " Xuống thang" hơn nó đỡ nguy hiểm chứ ko thì vỡ đầu mất ! Ko biết thầy Phú Khánh giải thế nào ạ ?
Nhân đây mời mọi người giúp em bài này :
$I=\int\frac{\sqrt[m]{1+x^{n}}}{x}dx $ với $m,n $nguyên dương

Đây gọi là tích phân của vi phân nhị thức, bài này em đặt t=(tử số) là ra, trường hợp tổng quát có dạng:
$\int {x^m (a + bx^n )^p dx} $
phải sử dụng định lý Chebysev mới ra. Ví dụ thử giải bài này xem:biggrin::

$\int {\frac{{dx}}
{{\sqrt[4]{1 + x^4 } }}}
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phú Khánh]

Nguyên văn bởi mathman145

$\int {\frac{{dx}}
{{\sqrt[4]{1 + x^4 } }}}
$

Cũng cóa người lại choa rằng bài nguyên hàm này thật khó xử ; bởi lẽ dùng đổi biết hay lượng giác ; xong vẫn thẩn thờ nếu 1 bài toán xuất hiện

$\int ln(tanx)dx $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Nguyên văn bởi Phú Khánh

Cũng cóa người lại choa rằng bài nguyên hàm này thật khó xử ; bởi lẽ dùng đổi biết hay lượng giác ; xong vẫn thẩn thờ nếu 1 bài toán xuất hiện

$\int ln(tanx)dx $

Dạ vâng bài kia em đã giải xong thầy cho em xem lời giải lượng giác của thầy đc hok ạ ? Thế bài trên của thầy thầy dùng đổi biến ạ ? ! Thôi em phải vào lớp đây lại bị ghi sổ đầu bài roài :byebye:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Nguyên văn bởi mathman145

Đây gọi là tích phân của vi phân nhị thức, bài này em đặt t=(tử số) là ra, trường hợp tổng quát có dạng:
$\int {x^m (a + bx^n )^p dx} $
phải sử dụng định lý Chebysev mới ra. Ví dụ thử giải bài này xem:biggrin::

$\int {\frac{{dx}}
{{\sqrt[4]{1 + x^4 } }}}
$

Dạ vâng đại ca cho em hỏi định lí Trebưsep là định lí nào ạ :biggrin: ?
Riêng bài của đại ca em giải như sau :
Đặt $I=\int {\frac{{dx}}
{{\sqrt[4]{1 + x^4 } }}}
$ . Đặt $t=\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}}{x} $ suy ra $x^{4}=\frac{1}{t^{4}-1} $nên $x^{3}dx=\frac{-t^{3}dt}{(t^{4}-1)^{2}} $
Do đó ta có : $I=\int\frac{-t^{3}dt}{(t^{4}-1)^{2}.t.\frac{1}{t^{4}-1}} $
$= \int\frac{-t^{2}dt}{t^{4}-1} $

$=\frac{-1}{2}\int\frac{[t^{2}+1-(t^{2}-1)]dt}{(t^{2}-1)(t^{2}+1)} $
$=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^{2}+1}-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^{2}-1} $
$ =\frac{1}{2}(arctgt-\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|)+C $
Thay x vào ta được : $I=\frac{1}{2}[arctg\frac{\sqrt[4]{1+x^{4}}}{x}-\frac{1}{2}ln|\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}-x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}+x}|]+C $
Em có đọc qua sách cao cấp của thầy Nguyễn Đình Trí và có thấy thầy nói như sau : Dạng tích phân này $\int {x^m (a + bx^n )^p dx} $ phải thảo đk $p,\frac{m+1}{n},\frac{m+1}{n}+p $ là các số nguyên thì nguyên hàm mới biểu diễn đc qua các hàm số sơ cấp .Tại sao lại như vậy ạ ?
Thôi hết giờ trốn học roài em phải vào lớp đây :byebye Bác Mathman giải thích cho thằng em hiểu tí nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phú Khánh]

Nguyên văn bởi Phú Khánh

Tính tích phân :$ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^8}dx $

Tôi thì chưa cóa dịp nghĩ đến nhảy tầng lầu vì tôi yếu tim lắm ; sợ khiếp khi ở lầu ; gió mát trăng thanh lại tẻ xuống thì khó cứu chữa ; do đóa tôi cũng chưa nghĩ đến nhiều phép biến đổi ; cóa lẽ nội công còn hơi yếu ; chưa đủ đô nên đành xử thêm thằng $2x^4 $. Toán mà dzô tay tôi là chỉ cóa nát vụn thôi ; không bao giờ thầy nóa đẹp bởi tay tôi nặng nóa ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Nguyên văn bởi Phú Khánh

Tôi thì chưa cóa dịp nghĩ đến nhảy tầng lầu vì tôi yếu tim lắm ; sợ khiếp khi ở lầu ; gió mát trăng thanh lại tẻ xuống thì khó cứu chữa ; do đóa tôi cũng chưa nghĩ đến nhiều phép biến đổi ; cóa lẽ nội công còn hơi yếu ; chưa đủ đô nên đành xử thêm thằng $2x^4 $. Toán mà dzô tay tôi là chỉ cóa nát vụn thôi ; không bao giờ thầy nóa đẹp bởi tay tôi nặng nóa ra

Dạ vâng em hiểu mà già như thầy thì nên xuống thang chứ như sếp Trần Phương 4 mấy thì nhảy tầng lầu cũng còn nguy hiểm nữa mà !

Nguyên văn bởi Phú Khánh

cóa lẽ nội công còn hơi yếu ; chưa đủ đô nên đành xử thêm thằng $2x^4 $.

Em ko hiểu ý thầy chắc tại đeo kính râm :nemoflow:nhưng nếu là bài $\int\frac{dx}{2x^{4}+1} $ thì sao lại khủng vậy ạ ? Em thấy nếu xuống thang thì cũng giải đc bài sau mà :$\int\frac{dx}{ax^{4}+b} $( với $a,b > 0 $)
Em mong các anh và các thầy vào trao đổi cùng bọn em ạ bởi thầy giáo chắc rảnh rỗi hơn học sinh mà nếu ko buồn chết mất umb:
Thôi out :byebye:em xin phép về với vợ con ạ :kiss: :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Anh mathman ạ bài này em có 1 hướng giải trong đó q về việc tính nguyên hàm sau :
$ \int\frac{dt}{t^{m}+a} $
Ý tưởng của anh em sẽ thử nhưng cho em hỏi bài em nêu kia có cách nào kill luôn ở dạng tổng quát ko ạ vì anh biết đấy ngay ở trường hợp của thầy Khánh nó đã khó roài !
Em có dịp trao đổi với Trần Phương nghe ông ta bảo bài thầy PK chỉ dùng biến đổi đại số khéo léo là xong nhưng dài có đợt thưởng 1 triệu cho ai giải ra trên DDTH rồi thì phải ? Ai có lời giải ko cho e xem tí

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]