Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Các Đề Thi Khác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-11-2018, 04:47 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,408
Thanks: 2,164
Thanked 4,162 Times in 1,377 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đề thi VMO Mock test 2019

Hướng tới VMO 2019, mình có soạn đề thi thử này, gửi mọi người tham khảo.

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ xác định bởi ${{a}_{0}},{{b}_{0}}\in \mathbb{R}$ và với mỗi $n\ge 0,$ các số hạng ${{a}_{n+1}},{{b}_{n+1}}$ được xác định theo ${{a}_{n}},{{b}_{n}}$ bởi một trong hai cách:
i) ${{a}_{n+1}}=\frac{2018{{a}_{n}}}{2019},\text{ }{{b}_{n+1}}=1-\frac{{{a}_{n}}}{2019}$ hoặc
ii) ${{a}_{n+1}}=a_{n}^{2},\text{ }{{b}_{n+1}}={{a}_{n}}$.
a) Chứng minh rằng nếu ${{a}_{0}}\in (-1;1)$ thì dãy số $({{a}_{n}})$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
b) Giả sử ${{a}_{2018}}\le {{a}_{0}},$ tìm giá trị lớn nhất của tổng $$S={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots +{{b}_{2018}}.$$

Bài 2. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Một đường tròn $({O}')$ thay đổi, luôn đi qua $B,C$ và cắt các cạnh $AB,AC$ theo thứ tự ở $D,E.$ Gọi ${D}',{E}'$ lần lượt là các điểm đối xứng với $D,E$ qua trung điểm các cạnh $AB,AC.$
1) Chứng minh rằng trung điểm ${D}'{E}'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
2) Trên cung nhỏ và cung lớn $BC$ của $(O)$, lần lượt lấy các điểm $R,S$ sao cho $(DER),(DES)$ tiếp xúc trong với $(O).$Phân giác trong của các góc $BRC,BSC$ cắt nhau ở $K.$ Chứng minh rằng đường tròn $(DEK)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $BC.$

Bài 3. (5 điểm) Đa thức $f(x)$ hệ số thực được gọi là “đẹp” nếu có thể biểu diễn thành
$$f(x)={{\left( P(x) \right)}^{3}}-{{\left( Q(x) \right)}^{2}},$$
trong đó $P(x),Q(x)$ là các đa thức hệ số thực.
a) Chứng minh rằng $f(x)=2018{{x}^{2}}-2019$ là đa thức đẹp.
b) Hỏi có tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc nhất là đa thức đẹp?

Bài 4. (5 điểm) Một bảng ô vuông kích thước $2019\times 2019$ được phủ kín bởi các hình: chữ $L,$ vuông gồm 3 ô, hình $2\times 2$ và chữ $Z$ gồm 4 ô (có thể xoay hình tùy ý nhưng không được đè lên nhau).

a) Hỏi có thể phủ được bảng hay không nếu không sử dụng hình vuông $2\times 2$ nào?
b) Chứng minh rằng trong mọi cách phủ, ta đều cần dùng ít nhất $4039$ hình chữ $L.$

Bài 5. (6 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
$$0<z\le y\le x\le 8 \text{ và } 3x+4y\ge \max \left\{ xy;\frac{1}{2}xyz-8z \right\}.$$
a) Chứng minh rằng $\frac{8}{x}+\frac{6}{y}+\frac{3}{z}\ge 3.$
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{z}^{5}}.$

Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$ và $D$ là trung điểm cung lớn $BC$ của $(O).$ Giả sử $K$ là một điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn $\angle KAB=2\angle KBA,\text{ }\angle KAC=2\angle KCA$.
a) Chứng minh rằng $KA=KD.$
b) Giả sử $AD$ cắt $BC$ ở $T$và $TM$ cắt $(BMC)$ ở $R,$ $TN$ cắt $(BNC)$ ở $S.$ Gọi $P$ là giao điểm của $KB$ và $OM,$ $Q$ là giao điểm của $KC$ và $ON.$ Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn $(TQR),(TPS)$ đi qua $O.$

Bài 7. (7 điểm) Với các số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau và $a>b>1$, xét dãy số sau
$${{u}_{n}}=\varphi \left( {{a}^{2n-1}}+{{b}^{2n-1}} \right)$$ với $n=1,2,3,\ldots $
trong đó $\varphi (x)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $x$ và nguyên tố cùng nhau với $x.$
a) Chứng minh rằng nếu $p>3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1).$
b) Chứng minh rằng ${{u}_{1}}{{u}_{2}}\ldots {{u}_{1009}}$ chia hết cho $\frac{2018!}{1009!}$.

Dưới đây là đáp án chi tiết của đề thi:

https://drive.google.com/file/d/1sc6...ew?usp=sharing
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
furin (28-11-2018), ncthanh (28-11-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:08 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.65 k/45.02 k (7.47%)]