Tìm nhiều cách giải cho bài bất đẳng thức

[baotram]

Trong đề thi học sinh giỏi 12 Quãng Trị có bài bất đẳng thức hay.

Các bạn thử tìm thật nhiều cách giải bài này nhé!

Cho các số $a,b,c $ dương và thỏa $ab+bc+ca=1 $
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}+ \sqrt{\frac{1}{c^2}+1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[9nho10mong]

Đầu tiên có
$$ A = \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} = \left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \right) \cdot \left( ab+bc+ca \right)\\
=3+ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \\
=3+T$$
Dùng AM-GM có
$$ \frac{1}{a^2}+1=\frac{a^2+ab+bc+ca}{a^2}=
\frac{ \left( a+b \right) \cdot \left( a+c \right) }{a^2} \le \frac{ \left(2a+b+c \right)^2}{4a^2} $$
Suy ra
$$ \sqrt{1+\frac{1}{a^2}} \le \frac{b+c}{2a} +1 $$
Vậy
$$ B=3+\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{c^2}} \le 6 + \frac{T}{2} $$
Lúc này chỉ cần chứng minh được
$$ 6 + \frac{T}{2} \le 3+T \quad{(1)}$$
thì sẽ suy ra được bất đẳng thức đề bài
$$ B \le 6 + \frac{T}{2} \le 3+T=A $$
Bất đẳng thức $(1)$ tương đương với
$$ T=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \ge 6 $$
Dễ thấy điều đó đúng do AM-GM .

Như vậy ta có điều cần phải chứng minh .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

ý tưởng thế lượng giác của bài này khá rõ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[baotram]

Nguyên văn bởi tranhongviet

ý tưởng thế lượng giác của bài này khá rõ

Mong các bạn trình bày rõ cách làm của mình để bạn đọc có thể học theo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[9nho10mong]

Cái này cũng không khác gì cách trên mấy . Nhưng minh cứ viết ra nhé

Từ điều kiện đề bài đặt
$$\begin{cases}
x=ab >0 \\
y=bc>0 \\
z=ca > 0
\end{cases}$$
Khi đó có $x+y+z=1$ và
$$\begin{cases}
\frac{zx}{y}=a^2 \\
\frac{xy}{z}=b^2 \\
\frac{yz}{x}=c^2
\end{cases}$$
Để ý là với $x+y+z=1$ thì
$$ 1+\frac{1}{x^2}=1+\frac{y}{zx}=\frac{y+zx}{zx}=
\frac{ \left( x+y \right) \cdot \left( y+z \right)}{zx} $$
Bất đẳng thức đề bài trở thành
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge 3 + \sqrt{\frac{ \left( x+y \right) \cdot \left( y+z \right)}{zx}}+\sqrt{\frac{ \left( y+z \right) \cdot \left( z+x \right)}{xy}}+\sqrt{\frac{ \left( z+x \right) \cdot \left( x+y \right)}{yz}} \quad{(1)} $$
Biến đổi vế trái của $(1)$ thành như sau
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \cdot \left(x+y+z \right) \\
=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}$$
Làm như vậy là để xuất hiện cái phần $+3$ để đơn giản với vế phải của $(1)$ thôi .

Lúc đó $(1)$ tương đương với
$$ \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y} \ge \sqrt{\frac{ \left( x+y \right) \cdot \left( y+z \right)}{zx}}+\sqrt{\frac{ \left( y+z \right) \cdot \left( z+x \right)}{xy}}+\sqrt{\frac{ \left( z+x \right) \cdot \left( x+y \right)}{yz}} \quad{(2)} $$
Đặt
$$\begin{cases}
A= \sqrt{\frac{x+y}{z}} > 0\\
B= \sqrt{\frac{y+z}{x}} > 0\\
C=\sqrt{\frac{z+x}{y}} >0
\end{cases}$$
Bất đẳng thức $(2)$ được viết lại thành
$$ A^2+B^2+C^2 \ge AB+BC+CA $$
Điều đó đúng . Ta có điều cần chứng minh .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huelc123]

Tại sao pn lại nghĩ ra cách này thế ạ?? Nếu tự nhiên mà nghĩ ra thì hơi lạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]