Một bài tìm GTLN cuả biểu thức

xiloxila · 04-05-2010, 12:08 PM

Tìm GTLN cuả biểu thức
$P=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $ với $x,y,z\in[0,1] $

**huynhcongbang** · 04-05-2010, 10:41 PM

Không mất tính tổng quát, giả sử x là số lớn nhất. Ta thấy nếu $x = y= z $ thì $P = 0 $ nên GTLN của nó không âm, do đó: ta chỉ xét: $x \ge z \ge y $. Đặt $x - z =a, z - y = b $, $0 \le a, b, a+b \le 1 $. Đưa biểu thức đã cho về:
$P=ab(a+b)(3x-2a-b) \le ab(a+b)(3-2a-b) $.
Ta sẽ tìm max của biểu thức này với 2 biến a,b thỏa mãn điều kiện $0 \le a, b, a+b \le 1 $ là xong. Mình nghĩ là dùng BĐT Cô-si.

ntkhang · 17-07-2010, 06:42 PM

Giả sử x=max{x,y,z}
+Nếu $x \geq y \geq z $ thì $ P \leq 0 $
+Nếu $x \geq z \geq y $ thì
$P \leq (z-y)(x-z)(x+y+z) $
$=\frac{1}{4}.[2(z-y)].[(\sqrt{3}+1)(x-z)].[(\sqrt{3}-1)(x+y+z)] $
$\leq \frac{1}{4}.\frac{[2(z-y)+(\sqrt{3}+1)(x-z)+(\sqrt{3}-1)(x+y+z)]^3}{27} $
$ = \frac{1}{108}.[2\sqrt{3}x+(\sqrt{3}-3)y]^3 \leq \frac{(2\sqrt{3})^3}{108}=\frac{2\sqrt{3}}{9} $
Dấu bằng xảy ra khi $ x=1 ,y=0, z=\frac{1}{\sqrt{3}} $

nam1994 · 17-07-2010, 07:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ntkhang

Giả sử x=max{x,y,z}
+Nếu $x \geq y \geq z $ thì $ P \leq 0 $
+Nếu $x \geq z \geq y $ thì
$P \leq (z-y)(x-z)(x+y+z) $ (1)

Dấu bằng xảy ra khi $ x=1 ,y=0, z=\frac{1}{\sqrt{3}} $

nếu dấu = xảy ra như vậy thì đánh giá 1 đâu đúng

ntkhang · 17-07-2010, 07:43 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nam1994

nếu dấu = xảy ra như vậy thì đánh giá 1 đâu đúng

Có (1) vì $ x-y \leq 1 $, vẫn thỏa mãn dấu bằng mà.

04-05-2010, 12:08 PM	#1
xiloxila +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Lỗ đen của vũ trụ Bài gởi: 52 Thanks: 19 Thanked 9 Times in 8 Posts	Một bài tìm GTLN cuả biểu thức Tìm GTLN cuả biểu thức $P=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $ với $x,y,z\in[0,1] $

17-07-2010, 06:42 PM	#3
ntkhang +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Chuyên Hùng Vương Bài gởi: 96 Thanks: 1 Thanked 24 Times in 18 Posts	Giả sử x=max{x,y,z} +Nếu $x \geq y \geq z $ thì $ P \leq 0 $ +Nếu $x \geq z \geq y $ thì $P \leq (z-y)(x-z)(x+y+z) $ $=\frac{1}{4}.[2(z-y)].[(\sqrt{3}+1)(x-z)].[(\sqrt{3}-1)(x+y+z)] $ $\leq \frac{1}{4}.\frac{[2(z-y)+(\sqrt{3}+1)(x-z)+(\sqrt{3}-1)(x+y+z)]^3}{27} $ $ = \frac{1}{108}.[2\sqrt{3}x+(\sqrt{3}-3)y]^3 \leq \frac{(2\sqrt{3})^3}{108}=\frac{2\sqrt{3}}{9} $ Dấu bằng xảy ra khi $ x=1 ,y=0, z=\frac{1}{\sqrt{3}} $ __________________ Giang hồ đẫm máu anh không sợ Chỉ sợ đường về vắng bóng em.

04-05-2010, 10:41 PM	#2
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Không mất tính tổng quát, giả sử x là số lớn nhất. Ta thấy nếu $x = y= z $ thì $P = 0 $ nên GTLN của nó không âm, do đó: ta chỉ xét: $x \ge z \ge y $. Đặt $x - z =a, z - y = b $, $0 \le a, b, a+b \le 1 $. Đưa biểu thức đã cho về: $P=ab(a+b)(3x-2a-b) \le ab(a+b)(3-2a-b) $. Ta sẽ tìm max của biểu thức này với 2 biến a,b thỏa mãn điều kiện $0 \le a, b, a+b \le 1 $ là xong. Mình nghĩ là dùng BĐT Cô-si.