Một biến đổi xác suất

[Combinatorial@]

Trong sách có đoạn này mình thấy khó hiểu bạn nào biết chỉ dùm với.

$\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\log }^{2}}j\int\limits_{{{(j-1)}^{\frac{1}{r}}}}^{{{j}^{\frac{1}{r}}}}{{{x}^{r-1}}\text{P}\left( \left| X \right|>x \right)\text{d}x}}\le C\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\log }^{2}}j}\text{P}\left( {{\left| X \right|}^{r}}>j \right) $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Đổi biến $u=x^r $ thì tích phân ở VT bằng:
$C \int_{j-1}^j P(|X|> u^{1/r})du = C \int_{j-1}^j P(|X|^r> u)du $
và nhỏ hơn hoặc bằng $C P(|X|^r>j-1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Combinatorial@]

Nguyên văn bởi pgviethung

Đổi biến $u=x^r $ thì tích phân ở VT bằng:
$C \int_{j-1}^j P(|X|> u^{1/r})du = C \int_{j-1}^j P(|X|^r> u)du $
và nhỏ hơn hoặc bằng $C P(|X|^r>j-1) $

Nhưng trong BĐT trên VP là $C P(|X|^r>j) $ mà bạn.

Nhân đây mình cũng hỏi luôn chỗ này:

$\sum\limits_{j=1}^{\infty }j^{\frac{r-2}{r}}{{{\log }^{2}}j\int\limits_{{{(j-1)}^{\frac{1}{r}}}}^{{{j}^{\frac{1}{r}}}}{{x}\text {P}\left( \left| X \right|>x \right)\text{d}x}} \le \sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\log }^{2}}j\int\limits_{{{(j-1)}^{\frac{1}{r}}}}^{{{j}^{\frac{1}{r}}}}{{{x}^{r-1}}\text{P}\left( \left| X \right|>x \right)\text{d}x}} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Khi bạn lấy tổng các thành phần thì ta được biểu thức như VP, chú ý là $\log 1=0 $.
Không biết $r $ như thế nào? Theo mình có thể là:
$j^{\frac{r-2}{r}}x \leq x^{r-1} $ với mọi $x \in [(j-1) ^{1/r}, j^{1/r}] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi Combinatorial@

Trong sách có đoạn này mình thấy khó hiểu bạn nào biết chỉ dùm với.

$\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\log }^{2}}j\int\limits_{{{(j-1)}^{\frac{1}{r}}}}^{{{j}^{\frac{1}{r}}}}{{{x}^{r-1}}\text{P}\left( \left| X \right|>x \right)\text{d}x}}\le C\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{\log }^{2}}j}\text{P}\left( {{\left| X \right|}^{r}}>j \right) $

Ban cần nói rõ thêm về biến ngẫu nhiên X. Nếu phân bố xác suất của X chỉ tập trung trên $[-2^{1/r},-1]\cup [1,2^{1/r}] $ tức là $P(1\leq |X|\leq 2^{1/r})=1 $, thì vế phải của bdt trên bằng 0, còn vế trái dương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Combinatorial@]

Nguyên văn bởi pgviethung

Khi bạn lấy tổng các thành phần thì ta được biểu thức như VP, chú ý là $\log 1=0 $.
Không biết $r $ như thế nào? Theo mình có thể là:
$j^{\frac{r-2}{r}}x \leq x^{r-1} $ với mọi $x \in [(j-1) ^{1/r}, j^{1/r}] $

Vâng, cám ơn nhiều, $r \in [1,2) $ bạn ạ, mình hiểu chỗ này rồi.

Nguyên văn bởi 123456

Ban cần nói rõ thêm về biến ngẫu nhiên X. Nếu phân bố xác suất của X chỉ tập trung trên $[-2^{1/r},-1]\cup [1,2^{1/r}] $ tức là $P(1\leq |X|\leq 2^{1/r})=1 $, thì vế phải của bdt trên bằng 0, còn vế trái dương.

Biến ngẫu nhiên $X $ thỏa mãn $E|X|^r(\log ^+X)< \infty $ bạn à.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]