Đề bài và lời giải môn Toán khối A 2012

**n.v.thanh** · 04-07-2012, 09:36 AM

Đề thi tuyển sinh Đại học - Năm học 2012

Môn : Toán khối A và $A_1$
Thời gian : 180 phút

I. Phần Chung Cho Tất Cả Thí Sinh (7 điểm)

Câu 1. (2 điểm)

Cho hàm số $y =x^4-2(m+1)x^2+m^2$ (1), với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi $m=0$
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác vuông.

Câu 2. (1 điểm)

Giải phương trình $\sqrt3\sin 2x+\cos 2x=2\cos x -1$

Câu 3. (1 điểm)

Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y \\ x^2+y^2-x+y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Câu 4. (1 điểm)

Tính tích phân

$$I=\int^{3}_{1}\dfrac{1+\ln(x+1)}{x^2}dx$$

Câu 5. (1 điểm)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HA=2HB$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^o$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và tính khoảng cách giữa đường thẳng $SA$ và $BC$ theo $a$.

Câu 6. (1 điểm)

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=3^{|x-y|}+3^{|y-z|}+3^{|z-x|}-\sqrt{6x^2+6y^2+6z^2}$$

II. Phần Riêng (3 điểm)

A. Chương Trình Chuẩn

Câu 7.a (1 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ . Gọi M là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $CD$ sao cho $CN=2ND$. Giả sử $M(\dfrac{11}{2},\dfrac{1}{2})$ và đường thẳng $AN$ có phương trình $2x-y-3=0$. Tìm tọa độ điểm $A$.

Câu 8.a (1 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ và điểm $I(0,0,3)$. Viết phương trình mặt cầu $S$ có tâm $I$ và cắt $d$ tại hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông tại $I$.

Câu 9.a (1 điểm).
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5C^{n-1}_n=C^3_n$. Tìm số hạng chứa $x^5$ trong khai triển nhị thức $\left ( \dfrac{nx^2}{14}-\dfrac{1}{x} \right )^n, x\neq 0$

B. Chương Trình Nâng Cao

Câu 7.b (1 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^2+y^2=8$. Viết phương trình chính tắc của Elip (E) có độ dài trục lớn bằng $8$ và $(E)$ cắt $(C)$ tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của hình vuông.

Câu 8.b (1 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$ , mặt phẳng $P : x+y-2z+5=0$ và điểm $A(1,-1,2)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ lần lượt tại $M,N$ sao cho $A$ là trung điểm đoạn thẳng $MN$.

Câu 9.b (1 điểm).

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{5(\overline{z}+i)}{z+1}=2-i$. Tính mô đun của số phức $.w=1+z+z^2$

--------------Hết--------------

_________________________________________________

Lời giải dựa trên thảo luận của các thành viên (soạn bởi thầy [Only registered and activated users can see links. ]) :

**sang89** · 04-07-2012, 09:42 AM

Bài tích phân tách thành $\displaystyle \int_1^3 \dfrac{\mbox{d}x}{x^2} + \displaystyle \int_1^3 \dfrac{\ln (1+x)}{x^2} \mbox{d}x $. Tích phân sau dùng công thức toàn phần với $u = \ln (1+x) $ và $v = \dfrac{1}{x} $

kien10a1 · 04-07-2012, 09:45 AM

Bài bđt em làm rất là điên thế này:trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z.
Ta có thể viết lại P= $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}+3^{\left | y-z \right |}-\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)} $
Ta thấy (y;z) hoàn toàn có thể thay bởi (-y-z) mà P không đổi nên giả sử y,z không âm.
Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $
Theo bđt AM-GM: $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}\geqslant 2.3^{\frac{3}{2}(y+z)} $
Xét hàm số $ 2.3^{\frac{3}{2}t}-3t $ với t không âm, lập bảng biến thiên suy ra min đạt tại t=0.
Tương tự với hàm số$3^r-r $ với r không âm.
Vậy min P là 3 khi x=y=z=0

ThangToan · 04-07-2012, 10:51 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài bđt em làm rất là điên thế này:trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z.
Ta có thể viết lại$ P= 3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}+3^{\left | y-z \right |}-\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)} $
Ta thấy (y;z) hoàn toàn có thể thay bởi (-y-z) mà P không đổi nên giả sử y,z không âm.
Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $
Theo bđt AM-GM: $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}\geqslant 2.3^{\frac{3}{2}(y+z)} $
Xét hàm số $ 2.3^{\frac{3}{2}t}-3t $ với t không âm, lập bảng biến thiên suy ra min đạt tại t=0.
Tương tự với hàm số$3^r-r $ với r không âm.
Vậy min P là 3 khi x=y=z=0

Có thể làm đơn giản như sau:
Đặt $a=|y-z|, b=|z-x|, c=|x-y| $. Khi đó ta có
$a^2[+b^2+c^2=3(x^2+y^2+z^2) $. Khi đó biểu thức P là
$P=3^a+3^b+3^c-\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)} $ (1)
Chú ý1: $|a-b|\le c, |c-b|\le a, |a-c|\le b $ suy ra $2(ab+bc+ca)\ge (a^2+b^2+c^2) $ suy ra $2(a^2+b^2+c^2)\le (a+b+c)^2 $ (2)
Chú ý 2. Với $t\ge 0 $ ta có $3^t\ge 1+t $
Từ chú ý 1 và 2, kết hợp với (1) suy ra $P\ge 3 $

kien10a1 · 04-07-2012, 10:55 AM

Trích:

Nguyên văn bởi ThangToan

Có thể làm đơn giản như sau:
Đặt $a=|y-z|, b=|z-x|, c=|x-y| $. Khi đó ta có
$a^2[+b^2+c^2=3(x^2+y^2+z^2) $. Khi đó biểu thức P là
$P=3^a+3^b+3^c-\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)} $ (1)
Chú ý1: $|a-b|\le c, |c-b|\le a, |a-c|\le b $ suy ra $2(ab+bc+ca)\ge (a^2+b^2+c^2) $ suy ra $2(a^2+b^2+c^2)\le (a+b+c)^2 $ (2)
Chú ý 2. Với $t\ge 0 $ ta có $3^t\ge 1+t $
Từ chú ý 1 và 2, kết hợp với (1) suy ra $P\ge 3 $

Vâng, em không thạo biến đổi nên cứ làm thẳng thành ra xử lý phức tạp.

cr99 · 04-07-2012, 11:20 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài bđt em làm rất là điên thế này:trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z.
Ta có thể viết lại P= $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}+3^{\left | y-z \right |}-\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)} $
Ta thấy (y;z) hoàn toàn có thể thay bởi (-y-z) mà P không đổi nên giả sử y,z không âm.
Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $
Theo bđt AM-GM: $3^{\left | 2y+z \right |}+3^{\left | 2z+y \right |}\geqslant 2.3^{\frac{3}{2}(y+z)} $
Xét hàm số $ 2.3^{\frac{3}{2}t}-3t $ với t không âm, lập bảng biến thiên suy ra min đạt tại t=0.
Tương tự với hàm số$3^r-r $ với r không âm.
Vậy min P là 3 khi x=y=z=0

Đúng là trâu bò húc, nhưng xem ra để kéo hàm mũ và hàm căn lại gần nhau thì chỉ có cách ước lượng và khảo sát hàm. Có cao thủ nào có ý kiến khác hay hơn ko?

hamaianh0405 · 04-07-2012, 11:30 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\left | y-z \right | $

Cái này là sao anh?

kien10a1 · 04-07-2012, 11:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hamaianh0405

Cái này là sao anh?

Vì đã giả sử y,z không âm nên $ \left | y+z \right |\geqslant \left | y-z \right | $ bình phương lên thì nó hiển nhiên đúng thôi.

hamaianh0405 · 04-07-2012, 01:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Vì đã giả sử y,z không âm nên $ \left | y+z \right |\geqslant \left | y-z \right | $ bình phương lên thì nó hiển nhiên đúng thôi.

Vậy như thế này được không anh
$\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left |y+z \right |+\sqrt{3}\left | y-z \right | $
Có phải là mò sao cho đạo hàm cái còn lại ra dương đúng không anh hay có kĩ thuật gì

AAHAIHAI · 04-07-2012, 01:08 PM

Nhận xét: trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z rất độc đáo.

paul17 · 04-07-2012, 09:45 AM

Câu 2
PT lượng giác
PT $\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x +2\cos^2 x=2\cos x$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x +2\cos x(\cos x-1)=0$
$\Leftrightarrow 2\cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x-1)=0$
Đến đây dễ dàng rồi

**Anh Khoa** · 04-07-2012, 09:48 AM

Hệ phương trình năm nay dễ xơi quá

Bù lại có nhị thức Newton

Thay $x^2+y^2=\frac{1}{2}+x-y $ từ phương trình dưới lên phương trình trên ta được

$x^3-12x+22=y^3-12y+\frac{3}{2} $

Đặt $a=x-y,b=xy $ ta được hệ phương trình

$\begin{cases}a^3+3ab-12a+\frac{41}{2}=0 \\ a^2-a+2b=\frac{1}{2}\end{cases} $

Đến đây thế vào nữa là xong, nhận được $a=2 $, suy ra $b=-\frac{3}{4} $

madman · 04-07-2012, 09:51 AM

Trích:

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Câu 3. (1 điểm)

Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} x^3-3x^2-9x+22=y^3+3y^2-9y \\ x^2+y^2-x+y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Gợi ý câu hệ: Đặt $x=a+1; y=b-1$ sẽ dễ nhìn hơn.

Chém Gió · 04-07-2012, 11:02 AM

Câu 6 (BĐT)
Chú ý là
$6(x^2+y^2+z^2)=2(|x-y|^2+|y-z|^2+|z-x|^2)$
nên nếu đặt $A=|y-z|,B=|z-x|,C=|x-y|$ thì ta có
$P=3^A+3^B+3^C-\sqrt{2(A^2+B^2+C^2)}.$
Giả sử $x\ge y\ge z,$ ta chứng minh
$2(A^2+B^2+C^2)\le(A+B+C)^2.$
Thật vậy bất đẳng thức tương đương
$2(AB+BC+CA)\ge A^2+B^2+C^2,$
$2(x-y)(y-z)+2(x-z)(y-z)+2(x-y)(x-z)\ge(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2,$
$4(x-y)(y-z)\ge0,$
đúng vì $x\ge y\ge z.$ Vậy ta có
$P\ge 3^A+3^B+3^C-(A+B+C).$
Xét hàm số $f(x)=3^x-x$ với $x\ge 0$ ta có ngay $f(x)\ge1$ $\forall x\ge0.$ Do đó $P\ge3.$
Mặt khác tại $x=y=z=0$ thì $P=3$ và như vậy $\min P=3.$

akaishuichi · 04-07-2012, 09:58 AM

Còn mình thì đặt x=X+2

04-07-2012, 09:42 AM	#2
sang89 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Heaven Bài gởi: 887 Thanks: 261 Thanked 463 Times in 331 Posts	Bài tích phân tách thành $\displaystyle \int_1^3 \dfrac{\mbox{d}x}{x^2} + \displaystyle \int_1^3 \dfrac{\ln (1+x)}{x^2} \mbox{d}x $. Tích phân sau dùng công thức toàn phần với $u = \ln (1+x) $ và $v = \dfrac{1}{x} $ __________________ $\spadesuit $ Only through the pure logic of mathematics can truth be found.

04-07-2012, 09:45 AM	#3
kien10a1 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc Bài gởi: 371 Thanks: 43 Thanked 263 Times in 153 Posts	Bài bđt em làm rất là điên thế này:trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z. Ta có thể viết lại P= $3^{\left \| 2y+z \right \|}+3^{\left \| 2z+y \right \|}+3^{\left \| y-z \right \|}-\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)} $ Ta thấy (y;z) hoàn toàn có thể thay bởi (-y-z) mà P không đổi nên giả sử y,z không âm. Khi đó $\sqrt{9(y+z)^2+3(y-z)^2)}\leq 3\left \|y+z \right \|+\left \| y-z \right \| $ Theo bđt AM-GM: $3^{\left \| 2y+z \right \|}+3^{\left \| 2z+y \right \|}\geqslant 2.3^{\frac{3}{2}(y+z)} $ Xét hàm số $ 2.3^{\frac{3}{2}t}-3t $ với t không âm, lập bảng biến thiên suy ra min đạt tại t=0. Tương tự với hàm số$3^r-r $ với r không âm. Vậy min P là 3 khi x=y=z=0 Các nghiệm của đạo hàm hoàn toàn có thể chứng minh là âm với bđt $e<3 $ __________________ Quay về với nơi bắt đầu thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 04-07-2012 lúc 09:53 AM

04-07-2012, 09:45 AM	#11
paul17 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên Bài gởi: 346 Thanks: 288 Thanked 231 Times in 126 Posts	Câu 2 PT lượng giác PT $\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x +2\cos^2 x=2\cos x$ $\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x +2\cos x(\cos x-1)=0$ $\Leftrightarrow 2\cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x-1)=0$ Đến đây dễ dàng rồi __________________ Hãy làm những việc bình thường nhất bằng lòng say mê và nhiệt huyết phi thường.

04-07-2012, 09:48 AM	#12
Anh Khoa Moderator Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 1,260 Thanks: 380 Thanked 737 Times in 398 Posts	Hệ phương trình năm nay dễ xơi quá Bù lại có nhị thức Newton Thay $x^2+y^2=\frac{1}{2}+x-y $ từ phương trình dưới lên phương trình trên ta được $x^3-12x+22=y^3-12y+\frac{3}{2} $ Đặt $a=x-y,b=xy $ ta được hệ phương trình $\begin{cases}a^3+3ab-12a+\frac{41}{2}=0 \\ a^2-a+2b=\frac{1}{2}\end{cases} $ Đến đây thế vào nữa là xong, nhận được $a=2 $, suy ra $b=-\frac{3}{4} $ __________________ [Only registered and activated users can see links. ] [Only registered and activated users can see links. ]

04-07-2012, 01:08 PM	#10
AAHAIHAI +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Nhận xét: trong 3 số x,y,z có 2 số không khác dấu, gs là y và z rất độc đáo.

04-07-2012, 11:02 AM	#14
Chém Gió +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 60 Thanks: 0 Thanked 28 Times in 18 Posts	Câu 6 (BĐT) Chú ý là $6(x^2+y^2+z^2)=2(\|x-y\|^2+\|y-z\|^2+\|z-x\|^2)$ nên nếu đặt $A=\|y-z\|,B=\|z-x\|,C=\|x-y\|$ thì ta có $P=3^A+3^B+3^C-\sqrt{2(A^2+B^2+C^2)}.$ Giả sử $x\ge y\ge z,$ ta chứng minh $2(A^2+B^2+C^2)\le(A+B+C)^2.$ Thật vậy bất đẳng thức tương đương $2(AB+BC+CA)\ge A^2+B^2+C^2,$ $2(x-y)(y-z)+2(x-z)(y-z)+2(x-y)(x-z)\ge(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2,$ $4(x-y)(y-z)\ge0,$ đúng vì $x\ge y\ge z.$ Vậy ta có $P\ge 3^A+3^B+3^C-(A+B+C).$ Xét hàm số $f(x)=3^x-x$ với $x\ge 0$ ta có ngay $f(x)\ge1$ $\forall x\ge0.$ Do đó $P\ge3.$ Mặt khác tại $x=y=z=0$ thì $P=3$ và như vậy $\min P=3.$

04-07-2012, 09:58 AM	#15
akaishuichi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 38 Thanks: 42 Thanked 5 Times in 5 Posts	Còn mình thì đặt x=X+2