Bất đẳng thức với điều kiện lạ

[sieubebu]

Cho $a,b\ge 1\ge c>0 $ thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2c-c^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2-1}\ge 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi sieubebu

Cho $a,b\ge 1\ge c>0 $ thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2c-c^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2-1}\ge 2 $

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta sẽ có là

$\[\frac{1}{{2c - {c^2}}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}} = \frac{1}{{2c - {c^2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2}}} \ge \frac{4}{{2c - {c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2}}}.\] $

Vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng

$\[2c - {c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2} \le 2.\] $

Thay $c=3-a-b $ vào bất đẳng thức, ta được

$\[2(3 - a - b) - {(3 - a - b)^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {{(3 - a - b)}^2} - 1}}{2} \le 2.\] $

Sau khi khai triển và thu gọn, bất đẳng thức sẽ trở thành

$(a-1)(b-1)\ge 0. $

Và đây là một bất đẳng thức đúng. $\blacksquare $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hizact]

Nguyên văn bởi leviethai

Sau khi khai triển và thu gọn, bất đẳng thức sẽ trở thành

$(a-1)(b-1)\ge 0. $

Và đây là một bất đẳng thức đúng. $\blacksquare $

Cách này mình đã thử rồi, bất đẳng thức cuối cùng là $(a-1)(b-1) \le 0 $, bị ngược dấu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi hizact

Cách này mình đã thử rồi, bất đẳng thức cuối cùng là $(a-1)(b-1) \le 0 $, bị ngược dấu.

Sao lạ thế nhỉ, bạn kiểm tra lại thử xem.

Mình làm từng bước nhé

$\[2\left( {3 - a - b} \right) - {(3 - a - b)^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {{(3 - a - b)}^2} - 1}}{2} \le 2.\] $

Nhân 2 mỗi vế, ta được

$\[4\left( {3 - a - b} \right) + {a^2} + {b^2} - 1 \le 4 + {(3 - a - b)^2}.\] $

Ta có

$\[{(3 - a - b)^2} = {a^2} + {b^2} - 6(a + b) + 2ab + 9.\] $

Như vậy, rõ ràng là

$a+b\le 1+ab. $

Hay

$(a-1)(b-1)\ge 0. $

Ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Anh cũng thấy Hải không có nhầm lẫn gì. kết quả trên là đúng rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hizact]

À à Hải làm đúng rồi. Bước cuối mình mới là người nhầm lẫn . Xin lỗi nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[soros_fighter]

Nguyên văn bởi sieubebu

Cho $a,b\ge 1\ge c>0 $ thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2c-c^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2-1}\ge 2 $

Mình thử làm theo cách này không biết đúng không

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow a+b\leq ab+1 $
$\Rightarrow 3=a+b+c\leq ab+1+c\Leftrightarrow ab+c\geq 2 $
$\frac{2}{a^2+b^2+c^2-1}=\frac{2}{(3-c)^2-2ab+c^2-1}=\frac{1}{c^2-ab-3c+4} $
Do đó:
$VT=\frac{1}{2c-c^2}+\frac{1}{c^2-ab-3c+4}\geq \frac{4}{2c-c^2+c^2-ab-3c+4}=\frac{4}{4-(c+ab)}\geq 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieubebu]

Mọi người thử thêm bài này nhé. Với cùng điều kiện nhưng nó mạnh hơn một tí
$\frac{1}{2c-c^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tungminh159]

[QUOTE=leviethai;126304]Áp dụng Cauchy Schwarz, ta sẽ có là

$\[\frac{1}{{2c - {c^2}}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}} = \frac{1}{{2c - {c^2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2}}} \ge \frac{4}{{2c - {c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2}}}.\] $

xin lỗi anh hải giúp em rõ tí được không. chỗ này áp dụng cauchy-schwarz ở đâu vậy anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

[QUOTE=tungminh159;126472]

Nguyên văn bởi leviethai

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta sẽ có là

$\[\frac{1}{{2c - {c^2}}} + \frac{2}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}} = \frac{1}{{2c - {c^2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2}}} \ge \frac{4}{{2c - {c^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - 1}}{2}}}.\] $

xin lỗi anh hải giúp em rõ tí được không. chỗ này áp dụng cauchy-schwarz ở đâu vậy anh

Mình áp dụng cái bất đẳng thức quen thuộc sau đây này bạn (cái này chẳng qua chỉ là hệ quả của Cauchy Schwarz hoặc là AM-GM)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi sieubebu

Mọi người thử thêm bài này nhé. Với cùng điều kiện nhưng nó mạnh hơn một tí
$\frac{1}{2c-c^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 2 $

Bất đẳng thức tương đương với

$\[\frac{{{{(c - 1)}^2}}}{{2c - {c^2}}} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.\] $

Ta dễ dàng có

$a^2+b^2+c^2\ge 3 \ge 3(2c-c^2)>0. $

Như vậy

$\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \le \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca}}{{3(2c - {c^2})}}.\] $

Ta chỉ cần chứng minh rằng

$\[3{(c - 1)^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca.\] $

Thay $c=3-a-b, $ bất đẳng thức trở thành

$\[3{(a + b - 2)^2} \ge {a^2} + {b^2} + {(3 - a - b)^2} - ab + (a + b - 3)(a + b).\] $

Sau khi khai triển và rút gọn, bất đẳng thức lại trở thành một bất đẳng thức đúng sau

$(a-1)(b-1)\ge 0. $

Ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]