Tìm số nguyên dương x,y,z

[DCsonlinh_DHV]

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z $ đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}) $ là số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dsonn]

Nguyên văn bởi DCsonlinh_DHV

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z $ đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}) $ là số nguyên

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}) $ là số nguyên khi và chỉ khi $(x+y+z)(xy+yz+zx) $ chia hết cho $xyz $
=> $x|(y+z), y|(z+x), z|(x+y) $(vì $x,y,z $ đôi một nguyên tố cùng nhau)
=> $xy|(y+z)(z+x) $=>$xy|(x+y+z) $
Tương tự => $xyz|(x+y+z) $
Nếu$x,y,z\ge{2} $ thì $ xyz\ge{4x,4y,4z} $ => $xyz\ge{x+y+z} $ (mâu thuẫn)
=> trong ba số có một số bằng 1.
Giả sử $x=1 $=>$yz|(1+y+z) $
Nếu$y,z\ge{3} $thì $yz\ge{1+y+z} $ (mâu thuẫn)
=> trong 2 số y,z có một số bằng 2.
Giả sử $y=2 $ => $z|(3+z) =>z|3 => z=3 $
Vậy các bộ số $(x,y,z) $ cần tìm là $(1,2,3) $ và các hoán vị của nó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[deathenieg]

Dạ
Từ chỗ $xy\mid (y+z)(z+x) $ sao lại suy ra được $xy\mid (x+y+z) $vậy ạ?
em hiểu theo kiểu
$(z+x)\vdots y\Rightarrow (x+y+z)\vdots x $
$(y+z)\vdots x\Rightarrow (x+y+z)\vdots y $
$\Rightarrow (x+y+z)\vdots [x,y,z]=xyz $
như vậy có được không ạ?
Và 2 chỗ suy ra mâu thuẫn ấy ạ,VT lớn hơn hẳn mà thầy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

$xy\mid (y+z)(z+x) $thì$xy\mid (x+y+z)z $
mà$(z,xy)=1 $thì suy ra thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]