Topic về nguyên hàm và tích phân

[man111]

We can express $(46)\;,(47)\;,(48) $ in elementry function , like for

$(46) $ $\displaystyle \bf{\int\frac{x^2-1}{\left(x^2+1\right). \sqrt{1+x^4}}dx} $

Divide both $\bf{N_{r}} $ and $\bf{D_{r}} $ by $\bf{x^2} $

$\bf{=\displaystyle \int\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right). \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx} $

$\bf{=\displaystyle \int\frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right). \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}}dx} $

Put $\displaystyle \bf{\left(x+\frac{1}{x}\right)=t\Leftrightarrow \left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx = dt} $ $\bf{=\displaystyle \int\frac{1}{t.\sqrt{t^2-2}}dt} $

Now Let $\displaystyle \bf{t^2-2=u^2\Leftrightarrow tdt=udu\Leftrightarrow dt=\frac{u}{t}dt} $

$\bf{=\displaystyle \int\frac{1}{u^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}du} $ $\bf{=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}.\tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)+\mathbb{C}} $

$\bf{\displaystyle \int\frac{x^2-1}{\left(x^2+1\right).\sqrt{1+x^4}}dx=\frac{1}{ \sqrt{2}}.\tan^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right)+ \mathbb{C}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Bài 50: tính tích phân
$$I = \int\limits_1^3 {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{\sqrt {x\left( {4 - x} \right) - 2} }}} d{\rm{x}}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuanh208]

Bài 51: Tính tích phân: $\int_{2}^{5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{\sqrt{x^{3}-x}+2x-2}dx $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hochoi1323]

Bài 52: $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )\left ( 1+\tan x \right )}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Bài 51:
$$I = \int_2^5 {\frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{\sqrt {{x^3} - x} + 2{\rm{x}} - 2}}d{\rm{x}}} $$
Đặt $\sqrt {x - 1} = t \Leftrightarrow x = {t^2} + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d{\rm{x}} = 2t{\rm{d}}t \\
{x^2} - 1 = {t^4} + 2{t^2} \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta sẽ có
$$I = \int_1^2 {\frac{{\left( {t - 2} \right)2t{\rm{d}}t}}{{{t^2}\sqrt {{t^2} + 2} + 2{t^2}}}} $$
Tới đây thì dễ rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuanh208]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Bài 51:
$$I = \int_2^5 {\frac{{\sqrt {x - 1} - 2}}{{\sqrt {{x^3} - x} + 2{\rm{x}} - 2}}d{\rm{x}}} $$
Đặt $\sqrt {x - 1} = t \Leftrightarrow x = {t^2} + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
d{\rm{x}} = 2t{\rm{d}}t \\
{x^2} - 1 = {t^4} + 2{t^2} \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta sẽ có
$$I = \int_1^2 {\frac{{\left( {t - 2} \right)2t{\rm{d}}t}}{{{t^2}\sqrt {{t^2} + 2} + 2{t^2}}}} $$
Tới đây thì dễ rồi

Bạn làm ơn giải tiếp hộ mình đc k ?
Với lại hình như nếu đổi biến như vậy thì phải là
$$I = \int_1^2 {\frac{{\left( {t - 2} \right)2t{\rm{d}}t}}{{{t}\sqrt {({t^2} + 1)({t^2} + 2)} + 2{t^2}}}} $$
Cảm ơn bạn nhiều!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

À xin lỗi bạn tớ nhầm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Bài 52
$$I = \int {\frac{{d{x}}}{{{x^n} + 1}}} $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentrai_oly]

Bài 53 Tính tích phân $ \int_{1}^{e}\frac{2+x}{x+lnx}dx $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Tích phân này không tính được ở cấp 3 đâu bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[paul17]

54/ Tính tích phân $$ I=\int_{1}^{e} \frac{x^2-2\ln x+1}{x^2\sqrt{x+\ln x}}dx $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Bài 55
Đặt $t = \frac{{\left( {2{x} - 2} \right)\sqrt {x + \ln {x}} }}{x} \Rightarrow dt = \frac{{{x^2} - 2\ln {x} + 1}}{{{x^2}\sqrt {x + \ln {x}} }}$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[paul17]

Nguyên văn bởi paul17

54/ Tính tích phân $$ I=\int_{1}^{e} \frac{x^2-2\ln x+1}{x^2\sqrt{x+\ln x}}dx $$

Đã tìm được lời giải bài này
Ta có $\displaystyle{I=\int_{1}^{e} \frac{(x+1)^2-2(x+\ln x)}{x^2\sqrt{x+\ln x}}dx=\int_{1}^{e}\frac{\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^2}{\sqrt{x+\ln x}}dx-2\int_{1}^{e}\frac{\sqrt{x+\ln x}}{x^2}dx}=A-B$
Ta có $\displaystyle{A=\int_{1}^{e}\frac{\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^2}{\sqrt{x+\ln x}}dx}$
Đặt $ \begin{cases}1+\dfrac{1}{x}=u
\\
\\ \frac{\left ( 1+\dfrac{1}{x} \right )}{\sqrt{x+\ln x}}dx=dv \end{cases} $
Đến đây sẽ làm tiếp dễ dàng được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[starandsky1995]

Bài 56:Tính tích phân:
$\int_{0}^{\pi /3}\tan^9 xdx $
Tổng quát cho mũ n nữa nhé!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Ta có
$$\begin{gathered}
{I_n} = \int_0^{\frac{\pi }{3}} {{{\tan }^n}xdx} = \int_0^{\frac{\pi }{3}} {{{\tan }^{n - 2}}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx} - \int_0^{\frac{\pi }{3}} {{{\tan }^{n - 2}}xdx} \\
= \left. {\frac{{{{\tan }^{n - 1}}x}}{{n - 1}}} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - {I_{n - 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{n - 1}}}}{{n - 1}} - {I_{n - 2}} \\
\end{gathered} $$
Mặc khác ta lại có
${I_1} = \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan xdx} = \ln 2$ và ${I_1} = \int_0^{\frac{\pi }{3}} {{{\tan }^2}xdx} = \sqrt 3 - \frac{\pi }{3}$
Từ hệ thức truy hồi này ta có thể dễ dàng tính được giá trị tích phân cần tìm
Dùng maple dễ dàng tìm được công thức tổng quát là
$${I_n} = - \frac{{i{3^{\frac{1}{2}n}}}}{2}\left[ {LerchPhi\left( {i\sqrt 3 ,1,n} \right) - LerchPhi\left( { - i\sqrt 3 ,1,n} \right)} \right]$$
Trong đó hàm $LerchPhi\left( {z,a,v} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{z^n}}}{{{{\left( {v + n} \right)}^a}}}} $
Bài này đổi cận trên là $\pi/4$ thì chắc đẹp hơn. ${I_9} = \ln 2 + \frac{{51}}{8}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]