Chứng minh phương trình có nghiệm

quynhanhbaby · 18-12-2010, 11:02 PM

Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng nếu phương trình $ax^2 +(b+c)x +d + e = 0 $ có nghiệm $x>=1 $ thì phương trình $ax^4 + bx^3 +cx^2+ dx + e = 0 $ có nghiệm.

NguyenNhatTan · 18-12-2010, 11:45 PM

$ax^{2}+(b+c)x+d+e=0 $ (1)
$ax^{4}+bx^{3}+cx+dx+e=0 $ (2)
. Giả sử $x_{0} \in [1; + \infty ) $ là nghiệm thực của PT (1).
. Lúc đó: $(1) \Rightarrow ax_{0}^{2}+cx_{0}+e=-(bx_{0}+d) $
. Xét hàm số $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e $ liên tục trên $R $
. Có:
$f(\sqrt{x_{0}}).f(-\sqrt{x_{0}})=[(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)+\sqrt{x_{0}}.(bx_{0}+d)][(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)-\sqrt{x_{0}}.(bx_{0}+d)] $
$=(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2}-x_{0}.(bx_{0}+d)^{2} $
$=(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2}-x_{0}.(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2} $
$=(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2}(1-x_{0}) \leq 0 $
Do đó phương trình $f(x)=0 $ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $[-\sqrt{x_{0}};\sqrt{x_{0}}] $
$\Rightarrow DPCM $

18-12-2010, 11:02 PM	#1
quynhanhbaby +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 42 Thanks: 39 Thanked 12 Times in 5 Posts	Chứng minh phương trình có nghiệm Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng nếu phương trình $ax^2 +(b+c)x +d + e = 0 $ có nghiệm $x>=1 $ thì phương trình $ax^4 + bx^3 +cx^2+ dx + e = 0 $ có nghiệm.

18-12-2010, 11:45 PM	#2
NguyenNhatTan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: THPT Lào Cai 1 Bài gởi: 202 Thanks: 30 Thanked 246 Times in 122 Posts	$ax^{2}+(b+c)x+d+e=0 $ (1) $ax^{4}+bx^{3}+cx+dx+e=0 $ (2) . Giả sử $x_{0} \in [1; + \infty ) $ là nghiệm thực của PT (1). . Lúc đó: $(1) \Rightarrow ax_{0}^{2}+cx_{0}+e=-(bx_{0}+d) $ . Xét hàm số $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e $ liên tục trên $R $ . Có: $f(\sqrt{x_{0}}).f(-\sqrt{x_{0}})=[(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)+\sqrt{x_{0}}.(bx_{0}+d)][(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)-\sqrt{x_{0}}.(bx_{0}+d)] $ $=(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2}-x_{0}.(bx_{0}+d)^{2} $ $=(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2}-x_{0}.(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2} $ $=(ax_{0}^{2}+cx_{0}+e)^{2}(1-x_{0}) \leq 0 $ Do đó phương trình $f(x)=0 $ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $[-\sqrt{x_{0}};\sqrt{x_{0}}] $ $\Rightarrow DPCM $ P/s: , cái tex mới dễ nhìn và đẹp hơn cái cũ __________________ Tớ sẽ cố gắng ...... vì cậu thay đổi nội dung bởi: NguyenNhatTan, 19-12-2010 lúc 12:04 AM