The inequality

daylight · 22-12-2010, 09:46 PM

Cho a,b,c >0 tìm min,max của

$P= \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}+\sqrt{b^2x^2+c^2y^2+a^ 2z^2}+\sqrt{c^2x^2+a^2y^2+b^2z^2} $

với x,y,z >0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1 $

nhox12764 · 22-12-2010, 09:55 PM

Trích:

Nguyên văn bởi daylight

Cho a,b,c >0 tìm min,max của

$P= \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}+\sqrt{b^2x^2+c^2y^2+a^ 2z^2}+\sqrt{c^2x^2+a^2y^2+b^2z^2} $

với x,y,z >0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1 $

$P= \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}+\sqrt{b^2x^2+c^2y^2+a^ 2z^2}+\sqrt{c^2x^2+a^2y^2+b^2z^2} $
$\ge \sqrt{(a+b+c)^2.x^2+(a+b+c)^2.y^2+(a+b+c)^2.z^2}=a +b+c $
(Minkowski

)

MathForLife · 22-12-2010, 10:06 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nhox12764

$P= \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}+\sqrt{b^2x^2+c^2y^2+a^ 2z^2}+\sqrt{c^2x^2+a^2y^2+b^2z^2} $
$\ge \sqrt{(a+b+c)^2.x^2+(a+b+c)^2.y^2+(a+b+c)^2.z^2}=a +b+c $
(Minkowski

)

Dấu "=" trong bất đẳng thức của anh(chị) chỉ xảy ra khi a=b=c thôi nhưng theo em thì a,b,c là các hằng số dương có thể phân biệt.

supermouse · 22-12-2010, 10:39 PM

áp dụng BDT cauchy-schwars có:
$\begin{array}{l}
{P^2} = \sum {{{\sqrt {{a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2}} }^2} \le 3\sum {({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2}) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})} } \\
\Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {3({a^2} + {b^2} + {c^2})} \\
\end{array} $

MathForLife · 22-12-2010, 10:45 PM

Còn min thì sao nhỉ

supermouse · 22-12-2010, 10:47 PM

Còn tìm min nữa thôi

MathForLife · 22-12-2010, 10:54 PM

Sr mình gõ nhầm

MathForLife · 24-12-2010, 09:41 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nhox12764

$P= \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}+\sqrt{b^2x^2+c^2y^2+a^ 2z^2}+\sqrt{c^2x^2+a^2y^2+b^2z^2} $
$\ge \sqrt{(a+b+c)^2.x^2+(a+b+c)^2.y^2+(a+b+c)^2.z^2}=a +b+c $
(Minkowski

)

Sorry lúc đầu em lộn chỗ điều kiện xảy ra dấu '=' trong bất đẳng thức minkowski. Bài làm này đúng rồi dấu '=' xảy ra khi 2 số=0 và 1 số =1.

22-12-2010, 09:46 PM	#1
daylight +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts	The inequality Cho a,b,c >0 tìm min,max của $P= \sqrt{a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}+\sqrt{b^2x^2+c^2y^2+a^ 2z^2}+\sqrt{c^2x^2+a^2y^2+b^2z^2} $ với x,y,z >0 thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1 $

22-12-2010, 10:39 PM	#4
supermouse +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: diamond planet Bài gởi: 85 Thanks: 10 Thanked 45 Times in 29 Posts	áp dụng BDT cauchy-schwars có: $\begin{array}{l} {P^2} = \sum {{{\sqrt {{a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2}} }^2} \le 3\sum {({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2}) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})} } \\ \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {3({a^2} + {b^2} + {c^2})} \\ \end{array} $ __________________ *NEVER GIVE UP*☺☺☺☺☺☺☺☺

22-12-2010, 10:45 PM	#5
MathForLife +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts	Còn min thì sao nhỉ thay đổi nội dung bởi: MathForLife, 22-12-2010 lúc 10:54 PM

22-12-2010, 10:47 PM	#6
supermouse +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: diamond planet Bài gởi: 85 Thanks: 10 Thanked 45 Times in 29 Posts	Còn tìm min nữa thôi __________________ *NEVER GIVE UP*☺☺☺☺☺☺☺☺

22-12-2010, 10:54 PM	#7
MathForLife +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: CT force Bài gởi: 731 Thanks: 603 Thanked 425 Times in 212 Posts	Sr mình gõ nhầm