Chứng minh phương trình có 1 nghiệm dương

[barcapro]

Chứng minh phương trình $ {x^{x + 1}} = {(x + 1)^x} $ có 1 nghiệm dương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi barcapro

Chứng minh phương trình $ {x^{x + 1}} = {(x + 1)^x} $ có 1 nghiệm dương

Điều kiện $x>0 $
Lấy loga cơ số x cả 2 vế ta có:$x+1=log_x(x+1) $
hay $x+1-xlog_x(x+1)=0 $
Xét hàm sô $y=x+1-xlog_x(x+1) $
Ta có:$y(2)=3-2log_23>0 $
Lại có $y(e^2)=e^2+1-e^2log_{e^2}(e^2+1)<0 $
Vậy ta có $y(2).y(e^2)<0 $ nên pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(2,e^2) $=> đfcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[barcapro]

Nguyên văn bởi batigoal

Điều kiện $x>0 $
Lấy loga cơ số x cả 2 vế ta có:$x+1=log_x(x+1) $

cái này mình nghĩ là xét TH $x>0 $ thôi,còn có thể có nghiệm <0 nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi barcapro

cái này mình nghĩ là xét TH $x>0 $ thôi,còn có thể có nghiệm <0 nhỉ

Không thể có nghiêm x<0 được vì $x^{x+1} $ lũy thừa với số mũ thực thì cơ số x pải >0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]