Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 trung học phổ thông chuyên sư phạm.

[thanh_tung]

Nguyên văn bởi daylight

Đề thế này thì càng dễ mà bạn, theo Bernoulli:
$q^y=[(q-1)+1]^y > (q-1)y+1 $

vậy $2|p $ suy ra $p=2 $ vậy $2^x+2^y=2y $ , theo quy nạp thì $2^y \ge 2y $

Vậy PT vô nghiệm

Không phải đâu! Tớ sửa lại rồi đấy.
------------------------------

Nguyên văn bởi stupidboy

Đề thi ngày 2. Thời gian: 180 phút
__________________________________________________

Câu II: Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x +q^x = 2^y $.

Đề phải là thế này chứ : Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x -q^x = 2^y $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Đề bài số học 3 là $p^x-q^x=2^y$, chắc bạn kia chép nhầm. Theo MS thì bài 1 là bài khó nhất ngày 2. Đây là 1 kết quả quen thuộc về dãy Fibonacci, bài toán hơi hàn lâm, chứng minh cũng không khó lắm, nhưng phải viện đến vài đẳng thức của dãy. Các bạn có thể chế biến bài này bằng cách thay bằng các dãy Lucas. Điều này có liên quan đến 1 bài toán mở chưa giải được về dãy Fibonacci: Tồn tại hay không vô hạn số nguyên tố trong dãy Fib.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi mcshane

Bài 1 của đề 2 anh gì giải tui thấy không ổn.băng chưng là khi n chia hết 15 thì f(n) không chia hết cả 3 lân 5.
------------------------------
Sao mất ngày rưỡi rùi ma chưa thấy ai giải bài hìng của đề 1 vậy!
------------------------------
Lời giải bài 1 đề 2 tui cân hoàn chỉnh chứ lời giải vưa rùi có vẻ huynhcongbang chưa động não.
------------------------------
Bỏ ra tiếng đồng hồ đề luyện dồn biến vơi bài 2 đề 1.nhưng chưa thấy tia hi vọng.anh nào giải dồn biến được thì tui đánh giá anh áy không sơ gì bdt!

Thì ra bài 1 đấy không đơn giản như mình nghĩ. Điều dự đoán này quả là nguy hiểm thật. Bài này không thể chứng minh $F_n+1 $ chia hết cho số nguyên tố nào được cả vì chu kì số dư nhận được cho 2, 3, 5, 7 là rất chệnh lệch.
Mình cũng thử tìm một số đẳng thức liên quan nhưng chưa thấy cái nào thích hợp cả. Mong được các bạn giúp đỡ thêm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ductho]

Bài 2 đề 1 không dùng dồn biến được đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanh_tung]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Thì ra bài 1 đấy không đơn giản như mình nghĩ. Điều dự đoán này quả là nguy hiểm thật. Bài này không thể chứng minh $F_n+1 $ chia hết cho số nguyên tố nào được cả vì chu kì số dư nhận được cho 2, 3, 5, 7 là rất chệnh lệch.
Mình cũng thử tìm một số đẳng thức liên quan nhưng chưa thấy cái nào thích hợp cả. Mong được các bạn giúp đỡ thêm!

Bài này thấy các thầy em bảo là xét tích bốn số liên tiếp và sử dụng các đẳng thức!!! Chẳng biết là như thế nào!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phongvan34]

Bài 1,em dùng đẳng thức tích 2 số chỉ số chẵn liên tiếp bằng bình phương số ở giữa trừ 1 và tích 2 số chỉ số lẻ liên tiếp bằng bình phương số ở giữa cộng 1.Không biết có đúng không nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuanh208]

Nguyên văn bởi thangtoancvp

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I,J theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và tam giác ACH. HI và HJ theo thứ tự cắt AB,AC tại $C_1, B_1 $ . $BB_1, CC_1 $ theo thứ tự cắt IJ tại $B_2, C_2 $ .
1) Chứng minh rằng AH, $BB_1, CC_1 $ đồng quy và IJ song song $B_1C_1 $
2) Tính góc $B_2HC_2 $

1, Giả sử đt IJ cắt AH, AB, AC lần lượt tại D, E, F.
$\widehat{B_1HC_1}=\widehat{B_1AC_1}=90^0 \Rightarrow \widehat{AB_1C_1}=\widehat{AHC_1}=\widehat{AHB_1}= \widehat{AC_1B_1}=45^0 $
Do đó $AB_1=AC_1 $
Suy ra $\frac{AC_1}{C_1B}.\frac{BH}{HC}.\frac{CB_1}{B_1A}= \frac{HB}{C_1B}.\frac{CB_1}{HC}=\frac{HA}{AC_1}. \frac{AB_1}{HA}=1 $
$\Rightarrow AH,BB_1, CC_1 $ đồng quy.
Mặt khác $\Delta HIA\sim \Delta HJC\Rightarrow \Delta HIJ\sim \Delta HAC\Rightarrow \widehat{HJI}=\widehat{HCA} $ nên tứ giác HJFC nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{JHC}=45^0 $
Tương tự suy ra $AE=AF\Rightarrow EF//B_1C_1\Rightarrow IJ//B_1C_1 $
2, Để ý rằng $C_1D\perp IA, JC\perp IA $ nên $C_1D//JC $$\Rightarrow \frac{C_2D}{C_2J}=\frac{C_1C_2}{CC_2}=\frac{B_1F}{ FC} $
mà $\Delta HDJ\sim \Delta HB_1C $
$\Rightarrow \widehat{DHC_2}=\widehat{B_1HF}=\widehat{FCJ}= \frac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{IAH} $
Vậy $C_2H//AI $, tương tự $B_2H//AJ $
Từ đó $\widehat{B_2HC_2}=\widehat{IAJ}=45^0 $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pabopit]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Thì ra bài 1 đấy không đơn giản như mình nghĩ. Điều dự đoán này quả là nguy hiểm thật. Bài này không thể chứng minh $F_n+1 $ chia hết cho số nguyên tố nào được cả vì chu kì số dư nhận được cho 2, 3, 5, 7 là rất chệnh lệch.
Mình cũng thử tìm một số đẳng thức liên quan nhưng chưa thấy cái nào thích hợp cả. Mong được các bạn giúp đỡ thêm!

bài 1 dùng phản chứng kết hợp với đẳng thức này anh ạ:$F_n^4-1=F_{n-2}F_{n-1}F_{n+1}F_{n+2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Evarist Galois]

Nguyên văn bởi stupidboy

Đề thi ngày 2. Thời gian: 180 phút
__________________________________________________

Câu II: Tìm các số nguyên dương $x,y $ $(x > 1) $ và các số nguyên tố $p,q $ thỏa mãn $p^x -q^x = 2^y $.

Dễ thấy p,q cùng lẻ
*)Nếu x chẵn, đặt x=2k suy ra $(p^k+q^k)(p^k-q^k)=2^y $ nên $p^k+q^k=2^m, p^k-q^k=2^n (m>n) $
$2^m-2^n=2^n(2^{m-n}-1)=2.q^k \to 2^{n-1}(2^{m-1}-1)=q^k $. Suy ra n=1 và $2^{m-1}-1=q^k (1) $
Ta sẽ chứng minh với $k \geq 2 $ phương trinh $ \sigma^k \equiv -1 \ (mod \ 2^ \lambda ) $ là không có nghiệm vì néu có nghiệm thì (-1) là thặng dư bậc $k $ theo mod $2^ \lambda $
$\to (-1)^{\alpha}= (-1)^{\frac{2^ \lambda -1}{gcd(2^ \lambda -1, k)}} \equiv 1 \ (mod \ 2^ \lambda) $ (2)
Dễ thấy $\alpha $ lẻ . Vậy không có đồng dư thức (2) nên (1) không xảy ra khi với $k \geq 2 $

Vậy $k=1 \to (p-q)(p+q)=2^y \to p+q=2^h; p-q=2^t $
$p=2^{t-1}(2^{h-t}+1), p=2^{t-1}(2^{h-t}-1) $
$\to t=1 \to p-q=2 $
Nếu $q \equiv -1 \ (mod \ 3) \to p \equiv 1 \ (mod \ 3) \Rightarrow 2^y=p^2-q^2 \equiv 0 \ (mod \ 3) $ vô lí
Nếu $q \equiv 1 \ (mod \ 3) \to p \equiv 0 \ (mod \ 3) \to p=3 $ mà q<p nên q=2 vô lí
Vậy q=3 nên p=5 suy ra $ 2^y=5^2-3^2=16 \to y=4 $




*)Vậy x lẻ, do x>1 nên ta suy ra x>2.
Pt tương đương $(p-q)(p^{x-1}+..+q^{x-1})=2^y \to (p-q),(p^{x-1}+..+q^{x-1}) $ đều là lũy thừa của 2
$ \Rightarrow 2^l=gcd(p-q,p^{x-1}+..+q^{x-1})=gcd(p-q,xq^{x-1})=gcd(p-q,x) $
Điều này sai do x lẻ
Vậy pt có nghiệm duy nhât p=5,q=3,x=2,y=4
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi Evarist Galois

$2^{m-1}-1=q^k (1) $

anh ơi , em thấy $m=3,k=1 $ thỏa mãn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Evarist Galois]

Quên mất cái tiêu chuẩn kia là $ k \geq 2 $. Anh sửa rồi đấy
Như vậy pt có nghiệm duy nhất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

[QUOTE=thangtoancvp;83975][CENTER]Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
TRƯỜNG THPT chuyên


Câu 2 có thể làm gọn gàng băng Bernolli hạ bậc 7\3 xuống bậc 1 rồi dùng CBS ..nhưng bài bậc <1 mình nghĩ dùng bẻnolli ngược ..
PS đang ngoài quán nên không viết chi tiết được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phongvan34]

Vãn bối thấy bài hình câu b có thể dùng hàng điểm điều hòa để giài.Có khi ngắn hơn đấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ductho]

Bạn tuanh208 chứng minh tắt quá , mình đọc chưa hiểu lắm, phiền bạn chứng minh chi tiết hộ tớ phần vuông góc

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mcshane]

Bài hình của đề 1 có thể giải bằng cách khá đơn giản:gọi E,F lần lượt là giao điểm của đường IJ với AB,AC rồi chứng minh IE=IC2=IH.tương tự JF=JB2=JH.chứng minh điều này không khó với bất kì ai đã từng học lớp 10 nếu không muốn nói học sinh lớp 9 cũng thừa sức.còn việc tính góc thì nhờ học sinh lớp 7 giải hộ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]