Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-09-2009, 06:03 PM   #61
caube94
+Thành Viên+
 
caube94's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Gia Lâm -Hà Nội
Bài gởi: 117
Thanks: 9
Thanked 38 Times in 26 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Red Devils View Post
Bài toán 31: (APMO 2005)
Cho ba số thực dương $a, b, c $ thoả mãn $abc=8 $. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3 \right)\left(1+b^3 \right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(1+b^3 \right)\left(1+c^3 \right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(1+c^3 \right)\left(1+a^3 \right)}}\geq \frac{4}{3} $
Bài toán 32: (Turkey MO 1999)
Cho $a, b, c $ là 3 số thực thoả mãn: c$\geq b\geq a\geq 0 $. Chứng minh rằng:
$\left(a+3b \right)\left(b+4c \right)\left(c+2a \right)\geq 60abc $
32.Áp dụng Am-Gm:
$LHS \ge 4.\sqrt[4]{ab^3}.5.\sqrt[5]{bc^4}.3\sqrt[3]{cb^2} $
Ta cần cm:
$4.\sqrt[4]{ab^3}.5.\sqrt[5]{bc^4}.3\sqrt[3]{cb^2} \ge 60abc $
$<=>c^8 \ge a^5b^3 $
Đúng theo giả thiết
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Ðừng khóc vì mọi việc đã qua, hãy cười vì mọi việc đang chờ phía trước.

thay đổi nội dung bởi: caube94, 07-09-2009 lúc 10:45 AM
caube94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-09-2009, 06:05 PM   #62
trungdeptrai
+Thành Viên+
 
trungdeptrai's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2008
Đến từ: Trường THPT Chuyên ĐHSP HN
Bài gởi: 100
Thanks: 12
Thanked 53 Times in 27 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới trungdeptrai
Icon10

Trích:
Nguyên văn bởi Red Devils View Post
Oah!!Ko ngờ lại có sự trùng lập ý như vậy, mình cũng vừa post xong, nhưng bài của bạn có chút nhầm lẫn trong đề bài
hehe,hài kinh điển,chỉ lệch nhau có tí còn đề mình vừa sửa rùi...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Live for Maths - love Maths forever
Nếu được sống thêm một cuộc đời nữa, tôi sẽ lại làm Toán...
trungdeptrai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 07-09-2009, 05:08 PM   #63
can_hang2008
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 310
Thanks: 5
Thanked 751 Times in 187 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi caube94 View Post
P/s:Em rất xin lỗi vì làm hơi tắt nên em đã sửa lại.Bài kia của anh Cẩn là bài toán khá quen thuộc nhưng em mới chỉ bik đến lời giải bằng SOS.Xem thêm taik đây [Only registered and activated users can see links. ]
Có khoảng ít nhất 3 lời giải bằng AM-GM cho bài đó nên caube94 cứ yên tâm thử nhé!

Còn đây là bài khác (hàng mới):

Bài 33 (Poland 2009): Cho $a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1 $, ta có
$\frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n +1}}{a+b} \ge \left( \frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b} \right) \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
can_hang2008 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 05-12-2009, 10:36 PM   #64
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Sao topic này bỏ lâu thế? Anh em tiếp tục đi chứ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 30-01-2010, 09:31 PM   #65
bvloi94
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
"LHS" là viết tắt của chứ gì vậy mấy bạn??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bvloi94 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-01-2010, 09:33 PM   #66
VIF
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Bài gởi: 28
Thanks: 2
Thanked 55 Times in 12 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ATK View Post
Bài 29: (RMC 2007)
Cho $a,b,c\geq 0 $ thỏa mãn:
$\frac {1}{a+b+1}+\frac {1}{b+c+1}+\frac {1}{c+a+1}\geq 1 $
CMR:
$a+b+c\geq ab+bc+ca $
lời giải của mình bằng Chebyshev
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf NDT_RMC2007.pdf (42.9 KB, 66 lần tải)
VIF is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to VIF For This Useful Post:
asimothat (31-01-2010)
Old 31-01-2010, 10:48 PM   #67
Red Devils
+Thành Viên+
 
Red Devils's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Lớp 55CLC2, trường ĐHXD
Bài gởi: 205
Thanks: 28
Thanked 395 Times in 82 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi bvloi94 View Post
"LHS" là viết tắt của chứ gì vậy mấy bạn??
Hiểu nôm na là vế trái đi, RHS là vế phải.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Red Devils is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-02-2010, 04:48 PM   #68
DCsonlinh_DHV
+Thành Viên+
 
DCsonlinh_DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Đến từ: *♥*
Bài gởi: 236
Thanks: 32
Thanked 53 Times in 37 Posts
Bài 33 Với $a,b,c\ge 0 $. Chứng minh rằng:

$3(a + b + c) \ge 2(\sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ac} + \sqrt {{c^2} + ab} ) $

Bài 34 Với $a,b,c,d\ge 0 $ chứng minh rằng:

$\frac{{a - b}}{{a + 2b + c}} + \frac{{b - c}}{{b + 2c + d}} + \frac{{c - d}}{{c + 2d + a}} + \frac{{d - a}}{{d + 2a + b}} \ge 0 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
DCsonlinh_DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-02-2010, 12:28 PM   #69
pontriagin
+Thành Viên+
 
pontriagin's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2009
Đến từ: NÔNG CỐNG 1
Bài gởi: 28
Thanks: 44
Thanked 34 Times in 9 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới pontriagin
Trích:
Nguyên văn bởi Red Devils View Post
Mình không giỏi BĐT lắm nhưng cũng bạo gan lấp ra Topic này. Topic sẽ tập hợp những bất đẳng thức trong các kì thi Olympiad ở các nước. Có 1 vài quy đinh để Topic thêm đẹp:
1. Ghi rõ nguồn: bài trong kì thi nào, năm bao nhiêu
2. Khi post bài các bạn hãy để ý số bài và ghi rõ.
3. Bạn có thể:
i. Post đề bài và để mọi người giải
ii. Post đề bài + lời giải (của mình hoặc sưu tầm)
4. Các BĐT đều phải là BĐT đã xuất hiện (chính thức hoặc dự tuyển) trong 1 kì thi toán Olympiad nào đó. Ngoài ra các bất đẳng thức xuất hiện trên các tạp chí toán học cũng được chấp nhận.
5. Khi giải bạn hãy trích dẫn lại bài sẽ giải để mọi người tiện theo dõi.
6. Bạn có thể post mở rộng của BĐT nếu muốn.
Bây giờ chúng ta cùng bắt đầu:

Bài toán 1: (IMO Shortlist 2001)
Cho $n $ số thực tuỳ ý $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} $. Chứng minh rằng:
$\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}+\frac{x_{2}}{1+x_{1}^{2} +x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{1+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}<\sqrt{n} $
Bài toán 2: (IMO Shortlist 2001)
Chứng minh rắng với mọi số thực dương $a, b, c $ ta có:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8c a}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1 $
Bài toán 3: (IMO LongList 1967)
Chứng minh rắng với mọi số thực dương $a, b, c $ ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq\frac{a^{8} +b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}} $
Bài toán 4: (14th Turkish Mathematical Olympiad, 2006)
Với mọi số thực dương $a, b, c $ thỏa mãn đẳng thức $a+b + c=1 $. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{ab+2c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1} {ca+2b^2+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ca} $

Tạm thời thế đã. Mọi người cùng giải nhé.
bài 1 dung bunhiacopxki-svac
sau do dat A1=1+x^2....,An=1+X1^2+...Xn^2
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi caube94 View Post
Bài 2: Dùng holder cho gọn
Bài 3:
$a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^2c^2(ab+bc+ca) $
bài 3 dung hoán vị ngon ơ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
hôm nay tôi không thể nhưng ngày mai tôi có thể...............

thay đổi nội dung bởi: pontriagin, 08-02-2010 lúc 12:36 PM Lý do: Tự động gộp bài
pontriagin is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 08-02-2010, 10:57 PM   #70
dinhgiang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2010
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Cho tam giác ABC, chứng minh tam giác ABC đều nếu :
cosAcosB/cosC + cosBcosC/cosA + cosCcosA/cosB = 3/2.
Bài này tưởng lượng giác như có thể hoàn toàn chuyển về thành chứng minh bất đẳng thức. Bài thi chọn đội tuyển lớp 10 trường THPT chuyên Bến Tre năm 2009-2010. Mọi người coi như là bài để luyện chứ chưa phải khó lắm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
dinhgiang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-02-2010, 02:02 PM   #71
lvt_ct_lhp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: LHP TPHCM
Bài gởi: 9
Thanks: 1
Thanked 3 Times in 2 Posts
Bài 9: Chỉ là AM-GM thường thôi mà $LHS \ge 3{\left( {\frac{2}{3}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)} \right)^{2/3}} \ge 3 $ (Nesbit)
P/S: chết thật trang 5 rồi àh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: lvt_ct_lhp, 09-02-2010 lúc 02:06 PM
lvt_ct_lhp is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-02-2010, 07:48 PM   #72
VIF
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Bài gởi: 28
Thanks: 2
Thanked 55 Times in 12 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi can_hang2008 View Post
Có khoảng ít nhất 3 lời giải bằng AM-GM cho bài đó nên caube94 cứ yên tâm thử nhé!

Còn đây là bài khác (hàng mới):

Bài 33 (Poland 2009): Cho $a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1 $, ta có
$\frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n +1}}{a+b} \ge \left( \frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b} \right) \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n+c^n}{3}}. $
lời giải của em hơi dài nên mong anh Cẩn viết lên lời giải của anh để tụi em học hỏi:

Ta viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng
$\frac{{{a^{n + 3}} + {b^{n + 3}} + {c^{n + 3}} + {a^{n + 2}}b + {a^{n + 2}}c + {b^{n + 2}}c + {b^{n + 2}}a + {c^{n + 2}}a + {c^{n + 2}}b + {a^{n + 1}}bc + {b^{n + 1}}ca + {c^{n + 1}}ab}}{{{a^{n + 2}} + {b^{n + 2}} + {c^{n + 2}} + {a^{n + 1}}b + {a^{n + 1}}c + {b^{n + 1}}c + {b^{n + 1}}a + {c^{n + 1}}a + {c^{n + 1}}b + {a^n}bc + {b^n}ca + {c^n}ab}} $
$ \ge \sqrt[n]{{\frac{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}{3}}} $
Ta sẽ chứng minh rằng
$\frac{{{a^{n + 3}} + {b^{n + 3}} + {c^{n + 3}} + {a^{n + 2}}b + {a^{n + 2}}c + {b^{n + 2}}c + {b^{n + 2}}a + {c^{n + 2}}a + {c^{n + 2}}b + {a^{n + 1}}bc + {b^{n + 1}}ca + {c^{n + 1}}ab}}{{{a^{n + 2}} + {b^{n + 2}} + {c^{n + 2}} + {a^{n + 1}}b + {a^{n + 1}}c + {b^{n + 1}}c + {b^{n + 1}}a + {c^{n + 1}}a + {c^{n + 1}}b + {a^n}bc + {b^n}ca + {c^n}ab}} $
$ \ge \frac{{{a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}} $
Thật vậy, sau khi quy đồng rút gọn bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức tương đương là
${a^{n + 3}}{b^n} + {a^{n + 3}}{c^n} + {b^{n + 3}}{c^n} + {b^{n + 3}}{a^n} + {c^{n + 3}}{a^n} + {c^{n + 3}}{b^n} $
$ \ge {a^{n + 2}}{b^{n + 1}} + {a^{n + 2}}{c^{n + 1}} + {b^{n + 2}}{c^{n + 1}} + {b^{n + 2}}{a^{n + 1}} + {c^{n + 2}}{a^{n + 1}} + {c^{n + 2}}{b^{n + 1}} $
Hay ${a^n}{b^n}\left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2} + {b^n}{c^n}\left( {b + c} \right){\left( {b - c} \right)^2} + {c^n}{a^n}\left( {c + a} \right){\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 $
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng và để hoàn tất chứng minh rằng, ta cần có
$\frac{{{a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}}}{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}} \ge \sqrt[n]{{\frac{{{a^n} + {b^n} + {c^n}}}{3}}} \Leftrightarrow 3{\left( {{a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}} \right)^n} \ge {\left( {{a^n} + {b^n} + {c^n}} \right)^{n + 1}} $
Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Holder. Phép chứng minh hoàn tất
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
VIF is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to VIF For This Useful Post:
tho 2010 (20-03-2010)
Old 09-02-2010, 09:06 PM   #73
DCsonlinh_DHV
+Thành Viên+
 
DCsonlinh_DHV's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Đến từ: *♥*
Bài gởi: 236
Thanks: 32
Thanked 53 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DCsonlinh_DHV View Post
Bài 33 Với $a,b,c\ge 0 $. Chứng minh rằng:

$3(a + b + c) \ge 2(\sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ac} + \sqrt {{c^2} + ab} ) $

Bài 34 Với $a,b,c,d\ge 0 $ chứng minh rằng:

$\frac{{a - b}}{{a + 2b + c}} + \frac{{b - c}}{{b + 2c + d}} + \frac{{c - d}}{{c + 2d + a}} + \frac{{d - a}}{{d + 2a + b}} \ge 0 $
mấy tuần rồi không thấy ai giải nó nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
DCsonlinh_DHV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-03-2010, 02:51 PM   #74
napoleongdaide
+Thành Viên+
 
napoleongdaide's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2008
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Hung_DHSP View Post
Đây là USA MO 2001
Cũng là Bài toán 2.40 Sáng tạo bất đẳng thức.
Xét (a-2)(b-1) la ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
napoleongdaide is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 09-03-2010, 06:33 PM   #75
Uy_Vũ
+Thành Viên+
 
Uy_Vũ's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Dân tộc Mường
Bài gởi: 128
Thanks: 8
Thanked 68 Times in 40 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DCsonlinh_DHV View Post
mấy tuần rồi không thấy ai giải nó nhỉ
Bài 33:
Giả sử:$ a\ge b \ge c $
By Am-GM ta có:
$2\sqrt{a^2+bc} \le a+c+\frac{a^2+bc}{a+c};2\sqrt{b^2+ca} \le b+c+\frac{b^2+ca}{b+c};2\sqrt{c^2+ab} \le b+c+\frac{c^2+ab}{b+c} $
Nhưng $\frac{a^2+bc}{a+c}+\frac{b^2+c^2}{b+c} \le \frac{a^2+ac}{a+c}+\frac{b^2+bc}{b+c}=a+b $
Từ đây ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Giang hồ nổi gió từ đây.
Chuyên Anh
Uy_Vũ is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bất đẳng thức, inequalities

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:44 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 108.28 k/124.53 k (13.05%)]