Chứng minh đẳng thức vector trong tam giác

[cuong13]

1,Cho một tam giác nhọn $ABC $ trực tâm $H $
Chứng minh:

$\tan A \cdot \overrightarrow{HA} + \tan B \cdot \overrightarrow{BH} + \tan C \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Tôi vừa sửa cho bạn lại tất cả, nếu sai đề mong bạn tự sửa lại.
Vì bạn là thành viên mới của diễn đàn, tôi nhắc nhở bạn xem kỹ quy định của diễn đàn trước khi viết bài, cơ bản là cách đánh latex, tiêu đề, ngôn từ sử dụng khi post bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi cuong13

1,Cho một tam giác nhọn trọng tâm $H $
Chứng minh:

$\tan A \cdot \overrightarrow{HA} + \tan B \cdot \overrightarrow{BH} + \tan C \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $

Mình thấy bài này có vấn đề rồi, vì nếu H là trọng tâm thì: $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi thephuong

Mình thấy bài này có vấn đề rồi, vì nếu H là trọng tâm thì: $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $

Bạn thephuong nhầm rồi. H là trọng tâm thì $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $ mới đúng!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Đúng là mình sai vì mình nhìn không kĩ, rất xin lỗi. Nhưng mình vẫn thấy bài này không ổn vì nếu đề bài đúng thì ta có được:
$\tan A.\overrightarrow{HA} + \tan C.\overrightarrow{HC} = \tan B.\overrightarrow{HB} = \tan B.\left(-\overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HC}\right) $
Do một vecto chỉ có thể biểu diễn một cách duy nhất qua 2 vecto không cùng phương nên ta có: $\tan A = - \tan B, \tan C = - \tan A $. Điều này không đúng cho một tam giác nhọn bất kì.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi cuong13

1,Cho một tam giác nhọn $ABC $ trọng tâm $H $
Chứng minh:

$\tan A \cdot \overrightarrow{HA} + \tan B \cdot \overrightarrow{BH} + \tan C \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $

Đề của bạn cuong13 sai rồi. Bạn có thể chọn tam giác nhọn đơn giản nhất là tam giác đều khi đó $A=B=C=60 $ và $tanA=tanB=tanC=\sqrt{3} $ từ đó rút gọn ta có $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $. Rõ ràng tổng ba vector này không thể bằng vector 0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mybubulov3]

Nguyên văn bởi tranphongk33

Đề của bạn cuong13 sai rồi. Bạn có thể chọn tam giác nhọn đơn giản nhất là tam giác đều khi đó $A=B=C=60 $ và $tanA=tanB=tanC=\sqrt{3} $ từ đó rút gọn ta có $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $. Rõ ràng tổng ba vector này không thể bằng vector 0.

Đề là trực tâm $H $ mới đúng!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuong13]

Ừ đúng trực tâm H (3 đường cao)xin lỗi các bạn!
và mong các bạn giúp tôi
------------------------------

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Tôi vừa sửa cho bạn lại tất cả, nếu sai đề mong bạn tự sửa lại.
Vì bạn là thành viên mới của diễn đàn, tôi nhắc nhở bạn xem kỹ quy định của diễn đàn trước khi viết bài, cơ bản là cách đánh latex, tiêu đề, ngôn từ sử dụng khi post bài.

Xin lỗi tôi mới vào nên chưa biết mong bạn bỏ qua.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Bài này chỉ cần dựa vào bài toán sau đây:
Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác, chứng minh:
$S_{MBC}.\overrightarrow{MA} + S_{MCA}.\overrightarrow{MB} + S_{MAB}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuong13]

Nguyên văn bởi thephuong

Bài này chỉ cần dựa vào bài toán sau đây:
Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác, chứng minh:
$S_{MBC}.\overrightarrow{MA} + S_{MCA}.\overrightarrow{MB} + S_{MAB}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} $

Bạn có thể nói kĩ hơn không?
Tôi mới học vector nên còn dốt lắm.

Moderator: Viết hoa + chấm câu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Nguyên văn bởi cuong13

bạn có thể nói kĩ hơn không
tôi mới học vector nên còn dốt lắm

Bạn đừng tự nói mình dốt, thật ra mình cũng có giỏi hơn gì đâu. Để mình trình bày cho bạn kĩ hơn:
Gọi $N $ là giao điểm của $AM $ với $BC $, ta có:
$\overrightarrow{MN} = \frac{NC}{BC}.\overrightarrow{MB} + \frac{BN}{BC}.\overrightarrow{MC} = \frac{S_{AMC}}{S_{AMC} + S_{AMB}}.\overrightarrow{MB} + \frac{S_{ABM}}{S_{ABM} + S_ {ACM}}.\overrightarrow{MC} $
Mà lại có $\overrightarrow{MN} = \frac{MN}{AM}.\overrightarrow{AM} = \frac{S_{MBC}}{S_{MAB} + S_{NAC}}.\overrightarrow{AM} $
Từ đó suy ra hệ thức trên đúng.
Với bài toán này thì chỉ cần để ý là $2S_{HBC} = \sin \widehat{BHC} . HB.HC = \sin A. HB. HC = \tanA. \cos A.HB.HC = -\tan A .\cos \widehat{BHC}.HB.HC = -\tan A.\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HC} = -tanA. \overrightarrow{HR}.\overrightarrow{HC} $ (với $P, Q, R $ là chân dường cao hạ từ đỉnh $A, B, C $ của tam giác $ABC $)
Từ đó nhận xét là $\overrightarrow{HR}.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HP}.\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{HQ}.\overrightarrow{HB} $
Suy ra được bài trên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuong13]

Tính tôi máy móc lắm bạn có thể giải bài này không
Cho một tam giác nhọn $ABC $ trực tâm $H $
Chứng minh:

$\tan A \cdot \overrightarrow{HA} + \tan B \cdot \overrightarrow{BH} + \tan C \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0} $

Cám ơn bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi cuong13

kĩ hơn được ko bạn tôi ko học chuyên toán nên ko hiểu đâu
bạn giải theo phương pháp lớp 10 nhé
thanks rất nhiều

Tôi đã nhắc nhở bạn nên xem kỹ quy định trước khi đăng bài và cũng đã sửa cho bạn 2 bài vừa qua. Còn bây giờ, tôi sẽ cho bạn thời gian đọc lại 1 lần nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]