Chứng minh đường tròn đi qua điểm cố định

[minhcanh2095]

Cho 3 điểm A , B , C thẳng hàng theo thứ tự đó . Trên đường thẳng d vuông góc với AB tại C , lấy điểm M bất kì . Gọi E là hình chiếu của B trên AM , BC cắt d tại N , AN cắt BM tại D .
a) Chứng minh đường tròn đường kính MN đi qua hai điểm cố định
b) Đường tròn (AMN) đi qua hai điểm cố định .
Sẵn tiện cho em hỏi , cách chứng minh một đường đi qua một điểm đi qua một điểm cố định là sao ạ ? Em bó tay với những bài như thế này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ngocduy1842]

Bạn xem lại đề với, d vuông góc với AB tại C, tí nữa lại BC cắt d tại N?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

Mình nhầm đề , sửa lại là BE cắt d tại N
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ngocduy1842]

A) Gọi I là trung điểm MN.
Đặt $C=(0;0); A=(a;0); B=(b;0); M=(0;m) $
Ta có: $\overrightarrow{AM}=(-a;m) $
Phương trình BE: $-ax+my+ab=0 $
N có $x=0 \Rightarrow y=\frac{-ab}{m} $
$\Rightarrow N(0;\frac{-ab}{m} $
Dễ có $I(0; \frac{m^2-ab}{2m}) $
và $MI^2=(\frac{m^2+ab}{2m})^2 $
Phương trình đường tròn đường kính MN: $x^2+(y-\frac{m^2-ab}{2m})^2=(\frac{m^2+ab}{2m})^2 $ (O)
Gọi giao của (O) với AB là P và Q. 2 điểm này có tung độ bằng 0 (y=0) $\Rightarrow x^2=\frac{ab}{m}.\frac{2m^2}{2m}=ab=const $.
Như vậy P và Q cố định. Vậy đường tròn này luôn đi qua hai điểm P và Q cố định.
B) Làm tương tự câu A, chỉ khác là chỉ cần tìm 1 điểm, 1 điểm cố định có sẵn là điểm A rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mệnh Thiên Tử]

Câu a , bạn chứng minh được tứ giác EBCM , AECN nội tiếp dẫn đến tứ giác MEDN nội tiếp sẽ có MD vuông góc AN , gọi $F = AC \cap (O , \frac{MN}{2}) $
Ban chứng minh được $\Delta ANC \sim \Delta MBC $
$\Rightarrow AC.BC = MC.NC $
$\Rightarrow AC.BC = FC^{2} $ ( hệ thức lưỡng trong $\Delta MFN $vuông ở F )
$\Rightarrow $ F cố định , đối xứng với F qua d sẽ có F' cố định.
Đi ngủ cái , làm lại cách lớp 9 thấy vất vả quá
câu b ) dễ dàng nhận thấy B là trực tâm của ( AMN ) , chứng minh B' đối xứng với B qua MN thì thuộc ( AMN ) ( cái này cơ bản ) nên tìm được B' và A cố định
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

Sặn tiện cho mình hỏi , làm sao tìm ra điểm cố định ấy vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mệnh Thiên Tử]

Bạn sẽ dựa vào các điểm cố định đã cho , bạn xét xem các giả thuyết di động có phụ thuộc hoàn toàn vào giả thuyết cố định không ? , nếu không phụ thuộc bạn sẽ tạo ra thêm các thành phần cố định có liên quan đến giả thuyết di động , ngu Văn nên thông cảm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

Còn nữa nè , tiếp câu c) nhé
c) Chứng minh tâm đường tròn (AMN) nằm trên một đường cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Đường tròn $(AMN) $ đi qua hai điểm cố định nên hiển nhiên ta có tâm của $(AMN) $ nằm trên trung trực của hai điểm đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mệnh Thiên Tử]

^
đúng rồi đó bạn , ta chứng minh được B' đối xứng với B qua đường kính MD (d) là hiển nhiên rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

Còn nữa nè
d) Chứng minh DE đi qua một điểm cố định .
E) Gọi P , Q là giao điểm của DE với đường tròn (AMN) . Chứng minh P luôn thuộc một đường cố định.

Chú ý post tập trung vào 1 bài.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

1) Cho tam giác ABC cân tại A , M là điểm di chuyển trên cạnh BC . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB tại B đi qua M và đương tròn (J) tiếp xúc với AC tại C đi qua M cắt nhau tại một điểm thứ hai là D . Chứng minh trung điểm của Ị luôn di động trên một đường cố định .
2) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B . Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại C , cắt (O') tại D . Tiếp tuyến tại C của (O) và tiếp tuyến tại D của (O') cắt nhau tại P .
a) Gọi H , K là hình chiếu của B lên PC , PD . Chứng minh KH luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
b) Gọi M là trung điểm của PD . Chứng minh M luôn thuộc một đường tròn cố định.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD. Chứng minh I thuộc một đường tròn cố định . Từ đó suy ra trung trực của BP luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ngocduy1842]

Lại phải coi lại đề bài 1 bạn ơi. "Chứng minh trung điểm của Ị luôn di động trên một đường cố định "
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]