Chứng minh tính chất cơ bản về hàng điểm

[tantaria]

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có $AB$ giao $CD$ tại $S$, $AC$ giao $BD$ tại $E$, kẻ các tiếp tuyến $SN,SM$ đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. $MN$ giao $AB,CD$ lần lượt tại $X,Z$ và $SE$ giao $ÁD$,$BC$ tại $T,Y$.Chứng minh rằng:
$$(SXBA)=-1$$
$$(SZCD)=-1$$
$$(SEYT)=-1$$
Mọi người giúp dùm em cảm ơn nhiều!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[RAIZA]

Nguyên văn bởi tantaria

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có $AB$ giao $CD$ tại $S$, $AC$ giao $BD$ tại $E$, kẻ các tiếp tuyến $SN,SM$ đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. $MN$ giao $AB,CD$ lần lượt tại $X,Z$ và $SE$ giao $ÁD$,$BC$ tại $T,Y$.Chứng minh rằng:
$$(SXBA)=-1$$
$$(SZCD)=-1$$
$$(SEYT)=-1$$
Mọi người giúp dùm em cảm ơn nhiều!

+ Gọi $O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD $ , G là hình chiếu $O $ trên $AB $ và $F $ là giao của $SO $ với $MN $ . Khi ấy $G $ là trung điểm $AB $ .
+ Ta có: $\overline{SA}. \overline{SB}=\overline{SM}^2= P_{S/(O)} $ ; $\overline{SM}^2=\overline{SF}. \overline{SO} $ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) và $\overline{SO}. \overline{SF}= \overline{SX}. \overline{SG} $ ($O,F,X,G $ cùng thuộc đường tròn đường kính $OX $) nên $\overline{SA}. \overline{SB}= \overline{SX}. \overline{SG} $ . Do $G $ là trung điểm $AB $ nên $(SXBA)=-1 $ theo hệ thức Maclaurin.
+ Tương tự $(SZCD)=-1=(SXBA)=(SXAB) $ . Vì $AC $ và $BD $ cắt nhau ở $E $ và $(SZCD)= (SXAB) $ nên $XZ $ cũng phải đi qua $E $ .
+ Xét tiếp 2 trường hợp (TH) sau:
+)TH1: $AD $ song song với $BC $ .Kết hợp $(SZCD)=(SXBA) $ ta có $AC,BD,XZ $ đôi một song song .Khi ấy sử dụng định lí Thales dạng đại số và chú ý $(SXBA)=-1 $ ta suy ra $(SEYT)=-1 $ .
+)TH2: $AD $ cắt $BC $ ở $H $ .Kết hợp $(SZCD)=(SXBA) $ ta có $AC,BD,XZ $ đồng quy ở $H $ .Ta có: $(SXAB)=H(SXAB)=(SEYT) $ (xét phép chiếu xuyên tâm $H $ lên đường thẳng $SY $) nên suy ra $(SEYT)=-1 $ .
Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]