Ánh xạ liên tục trên không gian Metric ?

[CHUNG-ĐTH]

Các pác cho em hỏi tí ?
Hàm số $f(x) = {\sup }\limits_{a \le t \le b} f(x) $ có liên tục trên không gian $C_{[a,b]} $ không ?
Chứng minh hộ em cái !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi CHUNG-ĐTH

Các pác cho em hỏi tí ?
Hàm số $f(x) = {\sup }\limits_{a \le t \le b} f(x) $ có liên tục trên không gian $C_{[a,b]} $ không ?
Chứng minh hộ em cái !

Xin lỗi, viết lại đề đi, mình đọc không hiểu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CHUNG-ĐTH]

Đề trong sách nó viết vậy mà !
Nhưng có lẽ đầy đủ là :

Trong không gian $C_{[a,b]} $ xét metric $d(x,y) ={\sup }\limits_{a \le t \le b} \left| {x(t) - y(t)} \right| $ và trong $R $ ta xét metric thông thường. Xét sự liên tục của ánh xạ $f(x) = {\sup }\limits_{a \le t \le b} x(t) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi CHUNG-ĐTH

Đề trong sách nó viết vậy mà !
Nhưng có lẽ đầy đủ là :

Trong không gian $C_{[a,b]} $ xét metric $d(x,y) ={\sup }\limits_{a \le t \le b} \left| {x(t) - y(t)} \right| $ và trong $R $ ta xét metric thông thường. Xét sự liên tục của ánh xạ $f(x) = {\sup }\limits_{a \le t \le b} x(t) $

lần trước cậu viết nhầm đấy. Bài này giải như sau:
ta có $x(t)\leq |x(t)-y(t)| + y(t) $ do đó $\sup x(t)\leq \sup|x(t)-y(t)| +\sup y(t) $ nên $\sup x(t) -\sup y(t)\leq \sup|x(t)-y(t)| $.
Tương tự ta có $\sup y(t) -\sup x(t)\leq \sup|x(t)-y(t)| $
từ đây ta có
$|\sup x(t) -\sup y(t)|\leq \sup|x(t)-y(t)| $
từ đó suy ra tính liên tục của hàm f.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]