Topic về phương trình nghiệm nguyên

[thanhhuy3t]

Bài 1: Tìm tất cả các hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số nguyên dương, hình chữ nhật có thể cắt thành 13 hình vuông bằng nhau sao cho mỗi cạnh của hình vuông là số nguyên dương lớn hơn 4 đơn vị.

Bài 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình:
a) $ x^{2}-4 y^{2}+28=17( x^{4}+ y^{4}+14 y^{2}+49) $
b) $ 2^{x} + 2^{y} + 2^{z}=2336 $
c) $ 1+ x^{2} + x^{3} + x^{4} = y^{4} $
d) $ x^{6}+3 x^{3}+1= y^{4} $
e) $ ( x^{2}+y)( y^{2}+x)= (x-y)^{2} $

Bài 3, Tìm tất cả các số $P, Q \in Z $ để đẳng thức đúng:
$\sqrt{P-2}+ \sqrt{Q-2}= \sqrt{PQ-2P-Q+1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Nguyên văn bởi thanhhuy3t

]

Bài 3, Tìm tất cả các số $P, Q \in Z $ để đẳng thức đúng:
$\sqrt{P-2}+ \sqrt{Q-2}= \sqrt{PQ-2P-Q+1} $

Viết lại phương trình ta được
$\sqrt{P-2}+ \sqrt{Q-2}= \sqrt{(P-2)(Q-2)+Q-3} $.
Nếu $(P-2)(Q-2)+Q-3>2(P-2+Q-2) $ thì dễ thấy phương trình vô nghiệm.
Nếu $(P-2)(Q-2)+Q-3\le 2(P-2+Q-2) $ hay ta được
$(P-3)(Q-4)\le 3 $. Từ đây chú ý $P,Q\ge 2 $ nên suy ra nghiệm thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhhuy3t]

Xin đính chính lại câu e, bài 3. Sorry:
$(x^{2} + y)(y^{2} + x)=(x-y)^{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Unknowing]

Bài 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình:

b) $ 2^{x} + 2^{y} + 2^{z}=2336 $
giải
$2^{x}+2^{y}+2^{z}=2336 $
$ \Leftrightarrow 2^{x}(1+2^{y-x}+2^{z-x})=2^{5}.73 $
suy ra x=5
còn lại
$ (1+2^{y-x}+2^{z-x})= 73 $
$\Rightarrow 2^{y-x}+2^{z-x}= 72 $
$\Rightarrow 2^{y-x}(1+2^{z-y})= 72=2^{3}.9 $
$\Rightarrow y-5=3 $
vậy suy ra y=8
tương tự suy ra z=11
[QUOTE=Unknowing;74458]Bài 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình:
[QUOTE=Unknowing;74458]Bài 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình:

câu c)
$\Leftrightarrow (2y^{3}+3)^{2}-4y^{4}=5 $
tới đây giờ chỉ xét..
câu e hình như VP là mũ 3
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhhuy3t]

Đính chính lại:

Bài 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình:
a)$x^{2}-4y^{2}+28 $=17($x^{4}+y^{4}+14y^{2}+49 $)
b) $2^{x}+2^{y}+2^{z} $=2336
c) $1+ x^{2}+x^{3} $ + $x^{4}=y^{4} $
d) $ x^{6}+3 x^{3} $$+1= y^{4} $
e) $ ( x^{2}+y)( y^{2}+x) $$=(x-y)^{2} $
Câu e hình như là x-y mũ 3, sao mình không sửa được nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Unknowing]

Nguyên văn bởi thanhhuy3t

Đính chính lại:

Bài 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình:
a)$x^{2}-4y^{2}+28 $=17($x^{4}+y^{4}+14y^{2}+49 $)
b) $2^{x}+2^{y}+2^{z} $=2336
c) $1+ x^{2}+x^{3} $ + $x^{4}=y^{4} $
d) $ x^{6}+3 x^{3} $$+1= y^{4} $
e) $ ( x^{2}+y)( y^{2}+x) $$=(x-y)^{2} $
Câu e hình như là x-y mũ 3, sao mình không sửa được nhỉ

nếu câu e) mũ 3 thì mình làm như sau:

$(x^{2}+y)(x+y^{2})=(x-y)^{3} $
$ \Leftrightarrow x^{3}+xy+x^{2}y^{2}+y^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3} $
$ \Leftrightarrow y\left [ 2y^{2}+(x^{2}-3x)y+(x+3x^{2}) \right ]=0 $
giờ biện luận nữa là xong
Nếu y=0 thì pt có nghiệm (x;0) với x là số nguyên
y khác 0
xem pt trên có ẩn là y và để pt trên có nghiệm thì đenta phương trình trên phải là 1 số chính phương
xong cứ khai triển đặt đenta bằng Q rồi làm ........
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhhuy3t]

1.Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) $19x^{2}+28y^{2}=729 $
b) $x^{3}-2y^{3}-4z^{3}=0 $
c) $x(y+z+t) $ = x^2+y^2+z^2+t^2 ( câu sau không biết tại sao mà không dung được latex)
d) $xy+yz+zx $=$xyz+2 $

2. Tìm $x,y,z,t \in N $ sao cho
31($xyzt+xy $+$xt+zt+1 $ )=40$(yzt+y+t) $

3. Tìm các số tự nhiên n, z thỏa mãn
$2^{n}+12^{2} $=$Z^{2}-3^{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Unknowing]

Nguyên văn bởi thanhhuy3t

1.Giải phương trình nghiệm nguyên:
a) $19x^{2}+28y^{2}=729 $
b) $x^{3}-2y^{3}-4z^{3}=0 $
c) $x(y+z+t) $ = x^2+y^2+z^2+t^2 ( câu sau không biết tại sao mà không dung được )
d) $xy+yz+zx $=$xyz+2 $

2. Tìm $x,y,z,t \in N $ sao cho
31($xyzt+xy $+$xt+zt+1 $ )=40$(yzt+y+t) $

3. Tìm các số tự nhiên n, z thỏa mãn
$2^{n}+12^{2} $=$Z^{2}-3^{2} $

không thấy đề đâu hết bạn chắc này là do diển đàn rồi
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
may quá thấy được câu c) làm câu này trước vậy
theo đề trên ta có
$(2^{n}+3^{2}) không chia hết cho 3 nên z^{2}-12^{2} không chia hết cho 3 $
do đó $z^{2}\equiv 1 (mod 3) $
$ z^{2}-12\equiv 1 (mod 3),suy ra z^{2}-12=2^{2}+3^{2}\equiv 1 (mod 3) $
suy ra $2^{n}\equiv 1 ( mod 3) $ tức n chẳn
đặt n=2k
trên tương đương
$z^{2}-2^{2k}=135 \Leftrightarrow (z-2^{k})(z+2^{k})=153=1.153=3.51=9.17 $
vì
$(z-2^{k})< (z+2^{k}) $
đến đây bài toán đã đơn giản
hoặc bài này có thể xét 2 trường hợp n chẳn và trường hợp n lẻ rồi suy ra như trên ...
nếu bạn không thấy thì cứ pm cho mình vì mình cũng không thấy
bài 1 a
ta có $19x^{2}+28y^{2}=729 $
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})+(18x^{2}+27x^{2})=729 $
$ \Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \vdots 3 $
vì 3 là số nguyên tố có dạng 4k+3 nên từ trên suy ra
x và y đều chia hết cho 3
x=3u,y=3v với u,v thuộc Z
thế vào trên ta được $19u^{2}+28v^{2}=81 $
tương tự ta có
u=3p ,v=3q với p,q thuộc Z
thay vào pt đầu ta đc
$19p^{2}+28q^{2}=9 $
nếu p hoặc q khác 0 thì $19p^{2}+28q^{2}> 9 $
nếu p=q =0 thì 0=9
vậy pt không có nghiệm nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhhuy3t]

Sao lúc xem được lúc không thế này.
Mình viết một đống công thức mà rồi chả xem được cái nào cả. Hic
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]