Đề thi chọn HSG QG VN 2009

[anhnguyen2311]

1) (4đ)Giải hệ pt
$\frac{1}{\sqrt{1+2{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{y}^ {2}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}
\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} $
2) (5đ)Cho dãy số
${x}_{1}=\frac{1}{2} $
${x}_{n}=\frac{\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+4{x}_{n-1}}+{x}_{n-1}}{2} $
Lập dãy ${y}_{n}\sum_{1}^{n}\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}} $
Chứng minh dãy (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
3) (5đ)Cho 2 điểm cố định A, B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho góc ACB=a (0<a<180) cho trước, Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống 3 cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F
AI và BI cắt EF lần lượt tại M,N.
a) CM MN không đổi
b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua 1 điểm cố định
4) (3đ) Cho a,b,c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương, a^n+b^n+c^n
là số nguyên. CM tồn tại 3 số nguyên p,q,r sao cho a,b,c là các nghiệm của pt x^3+px^2+qx+r=0
5) (3đ) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn /a-b/={1,n}
(chú ý tập rỗng thỏa mãn Đk trên)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]