Một số bài toán ( China TST )

h19101994 · 10-12-2011, 07:59 PM

Bài 1(PTH-TST Trung Quốc 2011):

Cho $n>2 $.Tìm tất cả các hàm $f: R->R $ thoả mãn:

$f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n) $

Bài 2:
CMR với mọi $2n-1 $ số nguyên dương bất kì luôn tồn tại $n $ số có tổng là bội của $n $
(Bài này chỉ cần chứng minh với $n=p $ là số nguyên tố là đủ và có thể sử dụng kết quả: trong Bài 3)
Bài 3:
Cho các đa thức nguyên$f_1(x_1,x_2,...,x_n),f_2(x_1,x_2,...,x_n),...,f_n( x_1,x_2,...,x_n) $ thỏa mãn tổng bậc của chúng nhỏ hơn $n $.
Cmr với mỗi $p $ nguyên tố , số các bộ $(x_1,x_2,...,x_n) $$mod p
$ sao cho $f_i(x_1,x_2,...,x_n) = 0 $ $mod p $ là bội của $p $.

bài 4(TST 2005
TRUNG QUỐC):
Cho $p $ là một số nguyên tố va $a_1,a_2,...,a_k $ là các số nguyên dương không chia hết cho $p $ và có số dư khác nhau khi chia cho $p $.
kí hiệu $S={n ,1<=n<=p-1,(na_1)_p<(na_2)_p<...<(na_k)_p} $
$(b)_p $ là số dư của $b $ khi chia cho $p $.CMR Số phần tử của $ S<=2p/{k+1} $

10-12-2011, 07:59 PM	#1
h19101994 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: A1 TOAN-KHTN Bài gởi: 15 Thanks: 7 Thanked 10 Times in 7 Posts	Một số bài toán ( China TST ) Bài 1(PTH-TST Trung Quốc 2011): Cho $n>2 $.Tìm tất cả các hàm $f: R->R $ thoả mãn: $f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n) $ Bài 2: CMR với mọi $2n-1 $ số nguyên dương bất kì luôn tồn tại $n $ số có tổng là bội của $n $ (Bài này chỉ cần chứng minh với $n=p $ là số nguyên tố là đủ và có thể sử dụng kết quả: trong Bài 3) Bài 3: Cho các đa thức nguyên$f_1(x_1,x_2,...,x_n),f_2(x_1,x_2,...,x_n),...,f_n( x_1,x_2,...,x_n) $ thỏa mãn tổng bậc của chúng nhỏ hơn $n $. Cmr với mỗi $p $ nguyên tố , số các bộ $(x_1,x_2,...,x_n) $$mod p $ sao cho $f_i(x_1,x_2,...,x_n) = 0 $ $mod p $ là bội của $p $. bài 4(TST 2005 TRUNG QUỐC): Cho $p $ là một số nguyên tố va $a_1,a_2,...,a_k $ là các số nguyên dương không chia hết cho $p $ và có số dư khác nhau khi chia cho $p $. kí hiệu $S={n ,1<=n<=p-1,(na_1)_p<(na_2)_p<...<(na_k)_p} $ $(b)_p $ là số dư của $b $ khi chia cho $p $.CMR Số phần tử của $ S<=2p/{k+1} $ Tôi nêu ra mấy bài toán trên không phải là đánh đố các bạn. Tôi muốn gửi đến các bạn (đặc biệt là các bạn sắp tham gia kì thi HSG QG)một cách nhìn nhận về toán OLYNPIC hiện nay,rằng Các bạn không chỉ mang thành tích về cho trường mà phải tìm cách đưa Việt NAm thành cườg quốc Olympic Toán...Theo tôi biết những bài toán trên Đội tuyển của Trung Quốc đã coi nó là cơ bản. Và các bạn nên biết sâu về một số kiến thức "tuyệt vời".,Các bạn sẽ có tư duy mạnh hơn....Toi sẽ post lời giải bằng Tiếng Việt __________________ Cuộc đời vì Khoa học thay đổi nội dung bởi: h19101994, 10-12-2011 lúc 08:11 PM

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây