Đề thi Tuyển sinh Đại học 2013 môn Toán khối B

[hungchng]

Câu 1. Cho hàm số : $y=2x^3-3(m+1)x^2+6mx (1)$, với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng Ab vuông góc với đường thẳng $ y = x +2$
Câu 2. Khối b 2013
Giải phương trình : $$\sin 5x + 2\cos^2 x =1$$
Câu 3. Khối b 2013
Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\\4x^2-y^2+x+4 = \sqrt{2x+y} + \sqrt{x+4y} \end{cases}$$
Câu 4. Tính tích phân : $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{2-x^2} dx$
Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Câu 6 , Khối b 2013.

Cho a, b ,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$$P= \dfrac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}} - \dfrac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$$

Câu 7a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và $AD = 3BC$. Đường thẳng BD có phương trình $x+2y-6 =0$ và tam giác ABD có trực tâm là $H(-3;2)$. Tìm tọa độ đỉnh C và D

Câu 8a. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0) và mặt phẳng $(P) : 2x+3y-z-7=0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P).

Câu 9a. Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi lấy ra có cùng màu.

Câu 7b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là $H(\dfrac{17}{5} ; \dfrac{-1}{5} )$, chần đường phân giác trong của góc A là D(5;3) và trung điểm của cạnh AB là M(0;1). TÌm tọa độ đỉnh C.
Câu 8b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;-1;1), B(-1;2;3) và đường thẳng $\Delta: \dfrac{x+1}{-2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z-3}{3}$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và $\Delta$
Câu 9b. Giải hệ phương trình : $\begin{cases} x^2+2y =4x-1 \\ 2\log_3 (x-1) - \log_{\sqrt{3}} (y+1) =0 \end{cases}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanghai_vovn]

Câu 6: Áp dụng bđt Cauchy ta có
$$P\leq \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{2}(a+b)^{2}+c^{2}+4}}-\frac{18}{(a+b)(a+b+4c)}$$
$$=\frac{8}{\sqrt{2(a+b)^{2}+4c^{2}+16}}-\frac{18}{(a+b)(a+b+4c)}$$
$$\leq \frac{8}{\sqrt{(a+b)^{2}+4c(a+b)+16}}-\frac{18}{(a+b)(a+b+4c)}$$
Đặt $(a+b)(a+b+4c)=t$, ta có hàm $f(t)=\frac{8}{\sqrt{t+16}}-\frac{18}{t}$.
Khảo sát ta được $f(t)$ max tại $t=48$ khi đó $a=b=c=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi hungchng

Câu 3. Khối b 2013
Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} 2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0\\4x^2-y^2+x+4 = \sqrt{2x+y} + \sqrt{x+4y} \end{cases}$$
Câu 9b. Giải hệ phương trình : $\begin{cases} x^2+2y =4x-1 \\ 2\log_3 (x-1) - \log_{\sqrt{3}} (y+1) =0 \end{cases}$

Câu 3: Từ phương trình đầu ta có:
$2x^2-3x(y-1)+(y-1)^2=0$
$\Rightarrow 2x=y-1$ hay $x=y-1$
Với $2x=y-1$, ta có:
$3-3x=\sqrt{4+9x}+\sqrt{4x+1}$ (1)
Điều kiện xác định: $\dfrac{-1}{4}\le x\le 1$, ta có:
$(1)\Leftrightarrow \dfrac{4x}{1+\sqrt{4x+1}}+\dfrac{9x}{2+\sqrt{9x+4} }+3x=0$
$\Rightarrow x=0$ hay $\dfrac{4}{1+\sqrt{4x+1}}+\dfrac{9}{2+\sqrt{9x+4}} +3=0 (*)$
Dễ thấy (*) vô nghiệm. Vậy ta được $x=0,y=1$
Với $x=y-1$,
ta có: $3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{4+5x}$ (2)
Điều kiện xác định: $-\dfrac{1}{3}\le x$
$(2)\Leftrightarrow 3x(x-1)+\dfrac{x(x-1)}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\dfrac{x(x-1)}{\sqrt{4+5x}+x+2}=0$
$\Rightarrow x=0$ hay $x=1$ hay $3+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{4+5x }+x+2}=0 (**)$
Dễ thấy (**) vô nghiệm. Vậy $x=0,y=1$ hay $x=1,y=2$
Câu 9 Điều kiện xác định: $x>1, y>-1$
Từ phương trình (2), ta có: $log_3 (x-1)=log_3 (y+1)$
$\Rightarrow x=y+2$
Thay vào (1), ta có: $y^2+2y-3=0$
$\Rightarrow y=1,x=3$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhcanh2095]

Chém mấy câu dễ trước cái đã
Câu 2 : PT tương đương $$\sin 5x = 1 - 2{\cos ^2}x = - \cos 2x = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
5x = \frac{{3\pi }}{2} - 2x + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\
x = \frac{{3\pi }}{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}
\end{array} \right.$$
Câu 4 : Đổi biến $u=2-x^2$, được $I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\sqrt u du} = \left. {\frac{1}{3}\sqrt {{u^3}} } \right|_1^2 = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{3}$
Câu 5 : Gọi $E,F$ là trung điểm của $AB, CD$. Dể thấy $SE \bot (ABCD)$ nên ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
Dễ có $SF \bot CD$, từ đó có $SF = \sqrt {S{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2},{S_{SCD}} = \frac{1}{2}SF.CD = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}$
Suy ra $d(A,(SCD) = 3.\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{SCD}}}} = ...$

[Only registered and activated users can see links. ]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi hungchng

Câu 2. Khối b 2013
Giải phương trình : $$\sin 5x + 2\cos^2 x =1$$

Phương trình tương đương: $\sin 5x=\sin (2x-\dfrac{\pi}{2})$
$\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}$ hay $x=\dfrac{3\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trongtri]

Câu 6 , Khối b 2013.

Ta có: $(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}\leq (a+b)\dfrac{(a+b+4c)}{2}= \dfrac{(a+b)^2}{2}+2ac+2bc \leq (a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2) $
Do đó:
$P \leq \dfrac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}} - \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)} $

Đặt $t=\sqrt{a^2+b^2+c^2+4} $, đk: $ t > 2 $

Xét hàm $f(t)= \dfrac{4}{t} - \dfrac{9}{2(t^2-4)} $ trên $t>2 $

Ta chứng minh được $f(t) \leq f(4) $

Vậy P lớn nhất bằng $f(4) $. Đạt được khi $a=b=c=2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k30101201]

Nguyên văn bởi hungchng

Câu 1. Cho hàm số : $y=2x^3-3(m+1)x^2+6mx (1)$, với m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng Ab vuông góc với đường thẳng $ y = x +2$

b. Ta có $y'=6x^2-6x(m+1)+6m=6(x-1)(x-m) $
Để hàm số có hai cực trị khi $m\neq 1 $.
Giả sử $A(1;3m-1), B(m;-m^3+3m^2) $ tới đây là okie.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daihaclam]

Câu 6:
$P\leq \frac{8}{a+b+c+2}-\frac{9}{\left ( a+b \right )\sqrt{\left ( a+2c \right )\left ( b+2c \right )}}\Rightarrow P_{Max}=\frac{5}{8}\Leftrightarrow a=b=c=2 \, \forall\, a,b,c\, \epsilon \mathbb{R}^{+}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]