BĐT-Giả thiết đồng bậc-1

[MathNMN2016]

Đề bài:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=xy. $

Chứng minh rằng:

$x^{3}+y^{3}-5z^{3}\leq -3xyz. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Vì có hai biến $x, y$ có vai trò như nhau nên làm theo tư duy cũ : ràng buộc và BĐT "qui theo" $S=x+y, P=xy$ và $z$.
BĐT cần c/m trở thành $6z^2\ge Sz+S^2$.
Trong khi ràng buộc trở thành $z^2=S^2-3P\ge S^2- \frac{3}{4}S^2.$
Do đó $2z\ge S.$ Suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Bài này em dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, nên em sử dụng dồn biến về x, x và z.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài này em dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, nên em sử dụng dồn biến về x, x và z.

Em có thể làm rõ hơn không! Cảm ơn em!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Dạ, đây là các ý chính trong lời giải của em:

1) Đặt: $f\left ( x, y, z \right )=x^{3}+y^{3}-5z^{3}+3xyz $, vì vai trò hai biến x và y như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử: $x\geq y $, xét:

$f\left ( x, y, z \right )-f\left ( x, x, z \right )=\left ( y-x \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2}+3zx \right )\leq 0 $.

2)Ta cần chỉ ra:

$f\left ( x, x, z \right )\leq 0 $.

Theo giả thiết đề bài thì ta rút được: $z=x $, thay vào ta có: $f\left ( x, x, z \right )=0 $, hay ta có BĐT cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Dạ, đây là các ý chính trong lời giải của em:

1) Đặt: $f\left ( x, y, z \right )=x^{3}+y^{3}-5z^{3}+3xyz $, vì vai trò hai biến x và y như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử: $x\geq y $, xét:

$f\left ( x, y, z \right )-f\left ( x, x, z \right )=\left ( y-x \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2}+3zx \right )\leq 0 $.

2)Ta cần chỉ ra:

$f\left ( x, x, z \right )\leq 0 $.

Theo giả thiết đề bài thì ta rút được: $z=x $, thay vào ta có: $f\left ( x, x, z \right )=0 $, hay ta có BĐT cần chứng minh.

Anh nghĩ em đã dồn biến sai nguyên tắc. Cụ thể bàn sau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Anh có thể chỉ rõ hơn cho em được không ạ?


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Anh có thể chỉ rõ hơn cho em được không ạ?

Đây là suy nghĩ của người ít quan tâm đến BĐT và "tránh xa mẹo vặt".
Xét $x, y, z$ thỏa điều kiện $g(x, y, z)=0$. Chứng minh rằng
$f(x,y,z)\ge 0.$

Ý tưởng dồn biến:
Xét $t=t(x,y,z)$ thỏa $g(t,t,z)=0 $ và thỏa
$f(x,y,z)\ge f(t,t,z)$
với mỗi $x, y, z$ thỏa ràng buộc $g(x,y,z)=0$.

Sau cùng, ta chứng minh $f(t,t,x)\ge 0.$
($t,x$ tự động thỏa ràng buộc!)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Em hiểu theo những gì anh nói, đó là khi em mắc lỗi khi xét $f(x,x,z) $ ạ?


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Em hiểu rồi, đúng ra phải xét hiệu:

$f\left ( x, y, z \right )-f\left ( t, t, z \right ) $,

với $t=\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Em hiểu rồi, đúng ra phải xét hiệu:

$f\left ( x, y, z \right )-f\left ( t, t, z \right ) $,

với $t=\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}. $

Đã ốn!
BĐT dồn biến cũng đơn giản vì $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\le 2 t^3.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[julia robert]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]