Tam giác cân, lớp 8

[minh31197]

Cho tam giác ABC có 2 đường phân giác trong của góc B và C bằng nhau, chứng minh tam giác ABC cân tại A

Giải giúp em bài này với kiến thức lớp 8 nha .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

(R.W.Hogg-1982)
gọi 2 đường phân giác trong BN, CM bằng nhau
dựng hình bình hành BMDN và kí hiệu các góc $\alpha, \beta, \gamma, \delta $ như hình vẽ
tam giác CMD cân tại M nên $\alpha +\gamma =\beta +\delta $ (1)
nếu $\alpha > \beta $ thì xét hai tam giác BCN và CBM có BC chung, $BN=CM,\widehat{CBN}>\widehat{BCM}\Rightarrow CN>BM $
mà $BM=ND\Rightarrow \gamma >\delta \Rightarrow \alpha +\gamma >\beta +\delta $, mâu thuẫn với (1)
tương tự, ko thể xảy ra trường hợp $\alpha <\beta $
suy ra $\alpha=\beta $, đpcm
----------------------------------------------
hình vẽ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[crystal_liu]

Bài này chắc trong quyển Nâng cao và phát triển toán (Vũ Hữu Bình ) ,chuyên đề (một số bài toán nổi tiếng ),chả nhớ rõ hình như có 2,3 cách trong đó,bạn có thể tham khảo thêm.
Qua 2 năm mà vẫn còn nhớ rõ ::Mình phục mình quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Đúng là bài này xuất hiện trong rất nhiều tài liệu mà ở bậc THCS thì có lẽ quen thuộc nhất là cuốn "Nâng cao và phát triển toán lớp 9" của thầy Vũ Hữu Bình, ở phần "Các bài toán nổi tiếng", theo mình nhớ là đã đưa ra 4 cách để chứng minh định lí nổi tiếng này (cùng 1 cách giải bài toán tổng quát):
- Phản chứng bằng cách dựng hình bình hành (như bạn novae nêu).
- Phản chứng bằng cách kéo dài các đoạn thẳng.
- Phản chứng bằng cách xét cung tròn.
- Chứng minh trực tiếp bằng tứ giác nội tiếp.

Trên THTT trong những số báo mấy năm gần đây cũng có nhắc đến nó; lên THPT thì bài này giải được dễ dàng bằng công thức đường phân giác rồi. Ở lớp 8 có lẽ chứng minh bằng cách dựng hình bình hành là thích hợp nhất.

Dưới đây là cách chứng minh trực tiếp trong cuốn sách nói trên của thầy Vũ Hữu Bình nhưng có sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp. Nếu muốn giải trực tiếp bài này hoàn toàn bằng kiến thức lớp 8 thì minh31197 thử giải bài toán sau:

"Cho tứ giác ABCD có $\widehat{DAC}=\widehat{DBC}=90^0 $. Trên tia AD và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $AM=BN $. Biết rằng MN // CD. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân."
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Bổ sung thêm tí
nội dung của bài toán đó là định lý Steiner-Lehmus
lịch sử của bài toán đó như sau:
năm 1840, Lehmus gửi cho Steiner bài toán trên và yêu cầu CM bằng hình học thuần túy, do đó nó mang tên Steiner-Lehmus
trong lời giải của mình , Steiner sử dụng công thức $l_a^2=bc\left ( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2} \right ) $
sau khi biến đổi đẳng thức $l_b=l_c $, ta có
$a(a+b+c)((a+b+c)(a^2+2bc)+2abc)(b-c)=0 $, suy ra đpcm
tuy nhiên chúng ta thấy ngay rằng cách CM của Steiner không hề mang tính hình học mà sử dụng biến đổi đại số

(mặc dù để CM công thức đường phân giác thì phải dùng hình học)

nếu các bạn muốn tìm hiểu thêm thì xem trong quyển Tuyển chọn theo chuyên đề THTT, quyển 3, trang 62-65

mình cũng trích dẫn trong đó ra

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]