Chứng minh bất đẳng thức lượng giác

[BMW]

$Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq ? $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anne™]

Làm sao mà chứng minh vế trái bé hơn dấu hỏi được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi BMW

$Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq ? $

Chắc đề bài như sau
Cho tam giac ABC. CMR
$Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $

Có nhiều cách để CM
câch 1Sử dụng tam thức bậc hai
cách 2: Dùng BDDT Jensen

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi BMW

$Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq ? $

$(Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}))^2\le 3(Cos^2 (\frac{A}{2}) +cos^2 (\frac{B}{2}) +cos ^2 (\frac{C}{2})) =\frac{3}{2}(cosA+cosB+cosC+3)\le \frac{3}{2}(\frac{3}{2}+3)=\frac{27}{4} $
nên $Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq \frac{3sqrt{3}}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hang7395]

Nguyên văn bởi BMW

$Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2} $

cách khác
$VT= \frac{2}{\sqrt{3}} [cos (\frac {A} {2} ). \frac{\sqrt{3}}{2}+cos (\frac{B}{2}) . \frac{\sqrt{3}}{2}]+\sqrt{3} [ \frac {cos(\frac{A}{2})} {\sqrt{3}} .sin (\frac{B}{2})+\frac { cos (\frac{B}{2})}{\sqrt{3}}. sin (\frac{A}{2} )] $
$\leq \frac{1}{\sqrt{3}} [(cos^2\frac{A}{2}+\frac{3}{4})+(cos^2\frac{B}{2}+ \frac {3} {4})]+\frac{\sqrt{3}}{2}[(\frac{cos^2\frac{A}{2}}{3}+sin^2 \frac{B}{2})+(\frac{cos^2 \frac{B}{2}}{3}+sin^2 \frac{A}{2})]=\frac{3\sqrt{3}}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duynhan]

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

$(Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}))^2\le 3(Cos^2 (\frac{A}{2}) +cos^2 (\frac{B}{2}) +cos ^2 (\frac{C}{2})) =\frac{3}{2}(cosA+cosB+cosC+3)\le \frac{3}{2}(\frac{3}{2}+3)=\frac{27}{4} $
nên $Cos (\frac{A}{2}) +cos (\frac{B}{2}) +cos (\frac{C}{2}) \leq \frac{3sqrt{3}}{2} $

Nếu đã sử dụng Jensen em nghĩ không nhất thiết phải đi biến đổi.

$cos{\frac{A}{2}}+cos{\frac{B}{2}}+cos{\frac{C}{2}} \le 3. cos{\frac{A+B+C}{6}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]