Ba đường thẳng đồng quy - khó

[PDatK40SP]

Nguyên văn bởi ma 29

Chính xác rồi,bản chất giống cách mình dùng đường thẳng Gauss đó

Uh Lúc chiều ngộ thật, ban đầu xem dự đoán của Mashimaru, phủ định bằng affine, thế là trong đầu cứ affine affine, dại kinh :beatbrick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Đấy là cái bệnh "công cụ mạnh" ,chắc bác nào cũng từng dính ,cái bệnh đó rất hay gặp khi cần kiểm chứng bằng toán học một kết quả mới nào đó......
Còn Mashi có lẽ cần dùng phần mềm để kiểm chứng thì sẽ có độ chính xác cao hơn
==============
Cái bài của P.Đạt thì mọi người thử làm cái sau xem,tuy nhiên mình cũng chưa suy nghĩ về nó ,nếu tập hợp điểm là quen biết với THPT thì tốt nhưng giả dụ là một cubic (Hoặc không xác định được)thì ma không chịu trách nhiệm đâu nghen
Cách của P.Đạt trong trường hợp trực tâm ấy có giúp gì với cái tổng quát không???


Bài toán:Cho tam giác nhọn $ABC $. $D,E,F $ lần lượt là 3 điểm trên $BC,CA,AB $ sao cho ba đường $AD,BE,CF $ đồng qui tại một điểm $O $. Lấy ${O}_{1},{O}_{2},{O}_{3} $ lần lượt là các điểm đối xứng của$ O $ qua trung điểm các đoạn$EF,DF,DE $. Cmr ${AO}_{1},{BO}_{2},{CO}_{3} $ đồng quy tại một điểm $S $.Tìm tập hợp các điểm $O $ sao cho S nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDatK40SP]

Nguyên văn bởi ma 29

Cái bài của P.Đạt thì mọi người thử làm cái sau xem,tuy nhiên mình cũng chưa suy nghĩ về nó ,nếu tập hợp điểm là quen biết với THPT thì tốt nhưng giả dụ là một cubic (Hoặc không xác định được)thì ma không chịu trách nhiệm đâu nghen
Cách của P.Đạt trong trường hợp trực tâm ấy có giúp gì với cái tổng quát không???

Tớ chưa thử nghĩ bao giờ nhưng có lẽ là không. Ngay từ đầu đã không tìm thêm cách nào khác ngoài Desargues nên kiểm soát điểm đồng quy rất khó, nhất là lại để cho nó nằm trên đường Euler nữa thì... Chứng minh trong trường hợp trực tâm của tớ hoàn toàn chỉ có biến đổi góc và một ít biến hình thôi, mà tớ không mấy khi làm được bài nào kiểu cho điểm đồng quy nằm trên đường Euler mà lại hoàn toàn thuần túy cả
Tuy vậy, theo tớ đoán ( vu vơ ) thì khả năng quỹ tích là đường thẳng hay tròn là rất thấp.
==============

Nguyên văn bởi PDatK40SP

Tớ chưa thử nghĩ bao giờ nhưng có lẽ là không. Ngay từ đầu đã không tìm thêm cách nào khác ngoài Desargues nên kiểm soát điểm đồng quy rất khó, nhất là lại để cho nó nằm trên đường Euler nữa thì... Chứng minh trong trường hợp trực tâm của tớ hoàn toàn chỉ có biến đổi góc và một ít biến hình thôi, mà tớ không mấy khi làm được bài nào kiểu cho điểm đồng quy nằm trên đường Euler mà lại hoàn toàn thuần túy cả
Tuy vậy, theo tớ đoán ( vu vơ ) thì khả năng quỹ tích là đường thẳng hay tròn là rất thấp.

À không, tự dưng đọc lại mới để ý, đoạn này tớ đang nói tới bài toán đối xứng trục đầu topic cơ. Còn bài toán đối xứng qua trung điểm thì mình đã chứng minh được $\bar{GO} = -2 \bar{GS} $ rồi, nên $S $ trên đường Euler cũng tương đương với $O $ trên đường Euler rồi còn gì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Chết mình nhầm đó,copy nhầm rồi,xin lỗi mọi người ,ý mình là cái bài đầu topic ấy mà
==============
Mình dùng máy tính thấy điều sau,chưa xem khó hay dễ nhưng thấy cũng đẹp

Vẫn với bài đầu topic,cho O trùng với trọng tâm tam giác ABC thì điểm đồng quy thuộc đường thẳng đi qua G và điểm liên hợp đẳng giác của G đối với tam giác ABC.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Talent]

Bạn ma29 này mình nghĩ bài toán sau vẫn đúng ,mọi người kiểm tra hộ xem !.
Trong phép lấy đối xứng A_1 qua B_1C_1 thì việc thay đổi tỉ số thì bài toán vẫn đúng ,nghĩa là lấy A_2 sao cho $\vec{A_1A_2}=k\vec{A_1A_3} $ với A_3 là trung điểm của $B_1C_1 $.Khi đó vẫn có AA_2,BB_2,CC_2 đồng quy .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDatK40SP]

Nguyên văn bởi Talent

Bạn ma29 này mình nghĩ bài toán sau vẫn đúng ,mọi người kiểm tra hộ xem !.
Trong phép lấy đối xứng $A_1 $ qua $B_1C_1 $ thì việc thay đổi tỉ số thì bài toán vẫn đúng ,nghĩa là lấy A_2 sao cho $\vec{A_1A_2}=k\vec{A_1A_3} $ với $A_3 $ là trung điểm của $B_1C_1 $.Khi đó vẫn có AA_2,BB_2,CC_2 đồng quy .

Câu đầu bảo đối xứng trục còn câu sau lại là đối xứng tâm nhỉ Nếu là đối xứng trục thì cho $O_1 O_2 O_3 $ là pedal của $O $ wrt $\triangle{DEF} $ thì từ định lý Céva Nest ta dễ thấy bài toán không thể đúng.
Còn bài toán đối xứng tâm thật lòng là tớ không có hứng lắm với những bài kiểu affine, vector như thế. ma29 thử kiểm tra xem đúng không

Nguyên văn bởi ma 29

Mình dùng máy tính thấy điều sau,chưa xem khó hay dễ nhưng thấy cũng đẹp
Vẫn với bài đầu topic,cho O trùng với trọng tâm tam giác ABC thì điểm đồng quy thuộc đường thẳng đi qua G và điểm liên hợp đẳng giác của G đối với tam giác ABC.

Bài toán này đúng. Đổi ký hiệu một tí cho dễ hình dung nhé: Cho $\triangle{ABC} $ nội tiếp đường tròn $(O) $, trọng tâm $G $, $A_o $ là trung điểm $BC $, $G_a $ đối xứng $G $ qua $B_oC_o $. Chứng minh rằng $AG_a, BG_b, CG_c $ đồng quy tại một điểm nằm trên đường nối $G $ và điểm Lemoine $L $ của $\triangle{ABC} $
Chứng minh: qua phép vị tự và một số để ý đơn giản, dễ thấy $AG_a $ đi qua $X_a $ đối xứng $G $ qua trung trực $BC $. Lấy $A_1 $ đối xứng $A $ qua trung trực $BC $, ta có $A_1, X_a, A_o $ thẳng hàng.
$AL $ cắt lại $(O), BC $ tại $A_2, A_3 $, tiếp tuyến của $(O) $ tại $B $ và $C $ cắt nhau tại $A_4 $. Ta có $A_1(BCA_oA) = -1 $, suy ra $A_1, A_o, A_2 $ thẳng hàng, nên $A_1, X_a, A_o, A_2 $ thẳng hàng
Để ý. $(AA_3A_2L) = (AA_3A_2A_4) \times (AA_3 A_4 L) = \[ 1- (AA_2A_3 A_4) \] \times (-1) = -2 $.
Cho $AA_1 $ cắt $A_o L $ tại $A_5 $, ta có $A_o (A B A_1 A_5) = (A A_3 A_2 L) = -2 $, suy ra $\frac{ \bar{AA_1} }{ \bar{AA_5 }} = -2 = \frac{ \bar{X_a A_1} }{ \bar{X_a A_o} } $, suy ra $AX_a $ song song với $A_o L $.
Từ đó vị tự tâm $G $ tỉ số $-2 $ ta sẽ thu được $A X_a $ đi qua ảnh của $L $. Từ đó suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi Talent

Bạn ma29 này mình nghĩ bài toán sau vẫn đúng ,mọi người kiểm tra hộ xem !.
Trong phép lấy đối xứng A_1 qua B_1C_1 thì việc thay đổi tỉ số thì bài toán vẫn đúng ,nghĩa là lấy A_2 sao cho $\vec{A_1A_2}=k\vec{A_1A_3} $ với A_3 là trung điểm của $B_1C_1 $.Khi đó vẫn có AA_2,BB_2,CC_2 đồng quy .

Phát biểu của Tùng hơi lạ ,nếu thế thì có lẽ không chính xác,còn ý tưởng mở rộng thì tớ hiểu. Có lẽ là $\vec{OA_2}=k \vec{OA_3} $ thì đúng.
Khả năng đúng của mệnh đề này rất cao,tớ đã check với một tỉ số khác 2 và nó vẫn đúng nên chắc là sẽ đúng với trường hợp tổng quát.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDatK40SP]

Nguyên văn bởi PDatK40SP

À, vừa nãy định nói thì quên mất. Ở bài toán đầu topic, cho $O $ chạy loanh quanh ta có mấy cái hay hay. Ví dụ chứng minh khi $O $ là trực tâm $\triangle{ABC} $ thì điểm đồng quy nằm trên đường thẳng Euler của $\triangle{ABC} $. Thực ra điểm đồng quy này có thể xác định cụ thể hơn nữa, nhưng nếu nói ra ở đề bài thì mất ý hay của bài toán

Hôm nay nhận được thông báo của một người bạn mới nhớ ra, online edit lại gấp. Bài này mình nhớ nhầm đề rồi. Thực ra thì nó vẫn đúng thôi, nhưng dễ quá, và ý không có gì lắm. Bài mình muốn nói đến là bài này:
$\triangle{ABC} $, $A_1 $ là chân đường cao hạ từ $A $. Lấy $A_2 $ đối xứng $A_1 $ qua $B_1C_1 $. Chứng minh rằng $AA_2, BB_2, CC_2 $ đồng quy tại một điểm $S $ nằm trên đường Euler của $\triangle{ABC} $. Một trong những cái mình thích ở bài này là xác định được vị trí hình học của $S $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Nguyên văn bởi ma 29

Chết mình nhầm đó,copy nhầm rồi,xin lỗi mọi người ,ý mình là cái bài đầu topic ấy mà
==============
Mình dùng máy tính thấy điều sau,chưa xem khó hay dễ nhưng thấy cũng đẹp

Vẫn với bài đầu topic,cho O trùng với trọng tâm tam giác ABC thì điểm đồng quy thuộc đường thẳng đi qua G và điểm liên hợp đẳng giác của G đối với tam giác ABC.

Comment tí:bài này sẽ không khó nếu ta biết tính chất sau:gọi $D,E,F $ là trung điểm $BC,CA,AB $ và $A',B',C' $ là trung điểm các đường cao hạ từ $A,B,C $ thì $DA',EB',FC' $ đồng quy tại điểm Lemoine (chứng minh sử dụng định lý Pappus và 1 bổ đề khá hay,có gì em sẽ post sau).Đến đây chỉ cần để ý 3 đường thẳng cần chứng minh đồng quy ở đề bài lần lượt liên hợp đẳng cự với 3 đường cao của tam giác $ABC $,suy ra điểm đồng quy liên hợp đẳng cự với trực tâm tam giác $ABC $.Qua phép vị tự tâm $G $ tỉ số $-\frac{1}{2} $ ta sẽ suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]