Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-03-2011, 07:24 AM   #1051
hizact
+Thành Viên+
 
hizact's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Sài Gòn
Bài gởi: 535
Thanks: 287
Thanked 325 Times in 193 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi haimap27 View Post
Anh có thể giải thích cho em về bđt này được không ạ.
Đó là BĐT Cauchy thôi mà

$\left( {\sum {{a^2}} + 2\sum {ab} } \right)\left( {\sum {{a^2}} - \sum {ab} } \right)\left( {\sum {{a^2}} - \sum {ab} } \right) \leqslant {\left( {\frac{{3\sum {{a^2}} }}{3}} \right)^3} = {\left( {\sum {{a^2}} } \right)^3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hizact is offline  
The Following User Says Thank You to hizact For This Useful Post:
haimap27 (27-03-2011)
Old 27-03-2011, 07:41 AM   #1052
Eragon1994
+Thành Viên+
 
Eragon1994's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: KSA-HCMC
Bài gởi: 106
Thanks: 28
Thanked 74 Times in 51 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Eragon1994
Hôm nay tặng anh em 3 bài BĐT đơn giản làm cho vui:
1/Cho $a,b,c>0;a+b+c=3 $.Chứng minh rằng:
$\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{a^2+3}}+ \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \le \frac{3}{2} $

2/Cho $a,b \ge 0;a+b=2 $.Chứng minh rằng:
$a^{a}b^{b}+3ab \le 4 $

3/Cho $a \ge b >0 $.Chứng minh rằng:
$\left(2^{a}+\frac{1}{2^{a}} \right)^{b} \le \left(2^{b}+\frac{1}{2^{b}} \right)^{a} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Eragon1994, 27-03-2011 lúc 07:43 AM
Eragon1994 is offline  
Old 27-03-2011, 09:39 AM   #1053
hizact
+Thành Viên+
 
hizact's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Sài Gòn
Bài gởi: 535
Thanks: 287
Thanked 325 Times in 193 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Eragon1994 View Post
3/Cho $a \ge b >0 $.Chứng minh rằng:
$\left(2^{a}+\frac{1}{2^{a}} \right)^{b} \le \left(2^{b}+\frac{1}{2^{b}} \right)^{a} $
Bđt đã cho tương đương

$\frac{{\ln \left( {1 + {4^a}} \right)}}{a} \leqslant \frac{{\ln \left( {1 + {4^b}} \right)}}{b} $

Xét hàm $f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {1 + {4^x}} \right)}}{x} $ với x>0, ta có $f'(x)<0 $ nên $f $ nghịch biến trên khoảng $(0; \; +\infty ) $

Kết hợp thêm giả thiết $a \ge b >0 $ ta có ngay $f(a) \le f(b) $ (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hizact is offline  
Old 27-03-2011, 09:54 AM   #1054
Eragon1994
+Thành Viên+
 
Eragon1994's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: KSA-HCMC
Bài gởi: 106
Thanks: 28
Thanked 74 Times in 51 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Eragon1994
Icon5

Trích:
Nguyên văn bởi hizact View Post
Bđt đã cho tương đương
$f'(x)<0 $ nên $f $ nghịch biến trên khoảng $(0; \; +\infty ) $

Kết hợp thêm giả thiết $a \ge b >0 $ ta có ngay $f(a) \le f(b) $ (đpcm)
Sao tự nhiên $f'(x)<0 $ được nhỉ
P/s:@Hizact:Bạn làm ra đầy đủ đi chứ ,và post chứng minh $f'(x)<0 $ lên nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Eragon1994 is offline  
Old 27-03-2011, 10:07 AM   #1055
hizact
+Thành Viên+
 
hizact's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Sài Gòn
Bài gởi: 535
Thanks: 287
Thanked 325 Times in 193 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Eragon1994 View Post
Sao tự nhiên $f'(x)<0 $ được nhỉ
P/s:@Hizact:Bạn làm ra đầy đủ đi chứ ,và post chứng minh $f'(x)<0 $ lên nhé.
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{{4^x}\ln {4^x} - \left( {1 + {4^x}} \right)\ln \left( {1 + {4^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + {4^x}} \right)}} $

Nếu $4^x<1 $ thì hẳn nhiên $f'(x)<0 $

Nếu không, xét hàm số $g\left( t \right) = t\ln t $ có $g'\left( t \right) = \ln t + 1>0 \forall x \ge 1 $

Vậy $g(x) $ đồng biến nên hiển nhiên $f'(x)<0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hizact is offline  
Old 27-03-2011, 10:13 AM   #1056
Eragon1994
+Thành Viên+
 
Eragon1994's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: KSA-HCMC
Bài gởi: 106
Thanks: 28
Thanked 74 Times in 51 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Eragon1994
Icon12

Trích:
Nguyên văn bởi hizact View Post
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{{4^x}\ln {4^x} - \left( {1 + {4^x}} \right)\ln \left( {1 + {4^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + {4^x}} \right)}} $

Nếu $4^x<1 $ thì hẳn nhiên $f'(x)<0 $

Nếu không, xét hàm số $g\left( t \right) = t\ln t $ có $g'\left( t \right) = \ln t + 1>0 \forall x \ge 1 $

Vậy $g(x) $ đồng biến nên hiển nhiên $f'(x)<0 $
Đạo hàm sai rồi bạn
$f'(x)=\frac{4^{x}x.2\ln 2-(4^{x}+1)\ln (4^{x}+1)}{(4^{x}+1)x^2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Eragon1994 is offline  
Old 27-03-2011, 10:28 AM   #1057
hizact
+Thành Viên+
 
hizact's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Đến từ: Sài Gòn
Bài gởi: 535
Thanks: 287
Thanked 325 Times in 193 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Eragon1994 View Post
Đạo hàm sai rồi bạn
$f'(x)=\frac{4^{x}x.2\ln 2-(4^{x}+1)\ln (4^{x}+1)}{(4^{x}+1)x^2} $
Đã TEST thử bằng cả Maple lẫn WolframAlpha. Chắc chắn là kết quả đạo hàm của mình đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hizact is offline  
Old 27-03-2011, 10:33 AM   #1058
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Eragon1994 View Post
Đạo hàm sai rồi bạn
$f'(x)=\frac{4^{x}x.2\ln 2-(4^{x}+1)\ln (4^{x}+1)}{(4^{x}+1)x^2} $
Cả hai kết quả đều là một: $\ln 4^x = x\ln 4 = x\ln 2^2 = 2x\ln2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline  
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
Eragon1994 (27-03-2011)
Old 27-03-2011, 12:31 PM   #1059
akai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Mặt trăng
Bài gởi: 134
Thanks: 34
Thanked 7 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi haimap27 View Post
Đặt A=a+b,B=ab
vì $a,b\in [0,2] $ nên $B \le 4 $

$P=\frac{8+6(a+b)+(a+b)^2}{4+2(a+b)+ab} $
$\Leftrightarrow $ $4P+2AP+BP=A^2+6A+8 $
$\Leftrightarrow $ $A^2+2A(3-P)+8-BP-4P=0
$
$\bigtriangleup'=P^2-6P+9-8+BP+4P=(P-1)^2+BP \LE(P+1)^2 $
Sau đó ta tính 2 nghiệm rồi giải bất phương trình.
Bạn tính sai Delta rồi. Phải là $\bigtriangleup'=(P-1)^2+BP $

Bạn giải bất phương trình như thế nào vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Akai Shuichi
akai is offline  
Old 29-03-2011, 04:22 PM   #1060
trungthu10t
+Thành Viên+
 
trungthu10t's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Cao Lãnh
Bài gởi: 149
Thanks: 58
Thanked 76 Times in 36 Posts
Giúp mình bài này với :
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho abc=1.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{(a^2+b^2)^3}{a^3+b^3}\geq 12 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu
trungthu10t is offline  
Old 29-03-2011, 06:06 PM   #1061
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi trungthu10t View Post
Giúp mình bài này với :
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho abc=1.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{(a^2+b^2)^3}{a^3+b^3}\geq 12 $
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline  
Old 29-03-2011, 07:55 PM   #1062
Eragon1994
+Thành Viên+
 
Eragon1994's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: KSA-HCMC
Bài gởi: 106
Thanks: 28
Thanked 74 Times in 51 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Eragon1994
Icon10

Trích:
Nguyên văn bởi trungthu10t View Post
Giúp mình bài này với :
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho abc=1.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{(a^2+b^2)^3}{a^3+b^3}\geq 12 $
Mình xin góp thêm một cách giải khác(mặc dù là dở hơn so với cách trong đường link của anh Novae )
Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c} \Rightarrow x,y,z>0;xyz=1 $.BĐT cần chứng minh trở thành:
$\sum \frac{(x^2+y^2)^3}{x^3y^3(x^3+y^3)} \ge 12 \Leftrightarrow \sum \frac{(x^2+y^2)^3}{x^2y^2(x+y)xy(x^2-xy+y^2)} \ge 12(1) $.
Sử dụng BĐT AM-GM,ta có:$xy(x^2+y^2-xy) \le \frac{(x^2+y^2)^2}{4} $
Suy ra $VT_{(1)} \ge 4\sum \frac{(x^2+y^2)^3}{x^2y^2(x+y)(x^2+y^2)^2} =4\sum \frac{x^2+y^2}{x^2y^2(x+y)} $
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarzt kết hợp với BĐT AM-GM,ta có:$4\sum \frac{x^2+y^2}{x^2y^2(x+y)} \ge 2\sum \frac{x+y}{x^2y^2} \ge 6\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x^4y^4z^4}} \ge 6\sqrt[3]{8xyz}=12=VP_{(1)}(Q.E.D) $
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1 \Leftrightarrow a=b=c=1 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Eragon1994 is offline  
The Following User Says Thank You to Eragon1994 For This Useful Post:
long_chau2010 (29-03-2011)
Old 29-03-2011, 10:27 PM   #1063
khanh.kid
Banned
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Bài gởi: 51
Thanks: 16
Thanked 20 Times in 12 Posts
giúp

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác, cm
$27abc \ge (3a+b-c)(3b+c-a)(3c+a-b) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khanh.kid is offline  
Old 29-03-2011, 10:55 PM   #1064
Kelacloi
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 252
Thanks: 50
Thanked 164 Times in 114 Posts
Đề bài sai rồi bạn .Đây là 1 phản ví dụ :
$b=c=1000;a=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: Kelacloi, 29-03-2011 lúc 10:57 PM
Kelacloi is offline  
Old 29-03-2011, 11:15 PM   #1065
haimap27
+Thành Viên+
 
haimap27's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 99
Thanks: 136
Thanked 44 Times in 34 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ruang0 View Post
áp dụng bđt cô si cho 3 số không âm $3a+b-c; 3b+c-a;3c+a-c $ ta có
$(3a+b-c)(3b+c-a)(3c+a-b)\le \frac{(3a+b-c+3b+c-a+3c+a-b)^3}{27}
=(a+b+c)^3\le 27abc $
bđt cuối ngược dấu rồi, chia 27 xuống đâu có đổi dấu đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
I WILL DO IT=p
haimap27 is offline  
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bất đẳng thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:44 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 102.11 k/118.13 k (13.56%)]