$8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 10(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[nam8298]

1. Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c =3$. Chứng minh rằng $$ 8\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) + 9 \geq 10(a^2+b^2+c^2). $$ 2. Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng $$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)(ab+bc+ca)^2 \geq 8a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)^2. $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuanton]

1) Xét hàm số $$f(x)=\frac{8}{x}-10x^2+3$$
khi đó BĐT tương đương cm $T=f(a)+f(b)+f(c)\ge 0$ với $a+b+c=3$
ta có $f''(x)=\frac{16}{x^3}-20$
do đó $f$ lồi trên $[0, \sqrt[3]{\frac{4}{5}}]$(1) và lõm trên $[\sqrt[3]{\frac{4}{5}},3]$(2)
không giảm tổng quát giả sử $a\ge b\ge c>0$
Trường hợp 1: $b\le \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ khi đó $b,c$ thuộc khoảng lồi của $f$ sử dụng BĐT Jensen ta có:
$f(b)+f(c)\ge 2f(\frac{b+c}{2})$ khi đó ta có
$$T=2f(\frac{3-a}{2})+f(a)\ge \frac{32}{3-a}-5(3-a)^2+\frac{8}{a}-10a^2+9$$(3)
$$VP=\ge \frac{(a-2)^2.(15a^2-15a+6)}{a.(3-a)}\ge 0$$
Trường hợp 2: $b\ge \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ ta có $b,a$ thuộc khoảng lõm nên ta có: $$f(a)+f(b)\ge f(\sqrt[3]{\frac{4}{5}})+f(a+b-\sqrt[3]{\frac{4}{5}})$$
nếu $c\ge \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ thì kết hợp với $c\le 1$ ta có dpcm
nếu $c\le \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ thì áp dụng Jensen lần nữa ta có $$T\ge 2f(\frac{c+
\sqrt[3]{\frac{4}{5}}}{2})+f(a+b-\sqrt[3]{\frac{4}{5}})$$(BĐT này hiển nhiên đúng theo (3)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]