Phương trình hàm trên tập số thực

[Juliel]

Tồn tại hay không các hàm số $f,g$ nhận tập giá trị và tập xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:
$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[knight123]

Nguyên văn bởi Juliel

Tồn tại hay không các hàm số $f,g$ nhận tập giá trị và tập xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:
$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3$$

Dễ thấy $g$ là 1 song ánh nên kéo theo $f$ song ánh
Ta có $f(x^3)=f(g(f(x)))=f^2(x) (1) $
Thay $x=-1;0;1$ vào (1) ta đc:
$f(0);f(1);f(-1) \in{0;1} (2) $
Mặt khác $f$ song ánh nên $f(0);f(1);f(-1)$ phải đôi một khác nhau (mâu thuẫn với (2))
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]