|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
11-08-2014, 08:57 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 8 Thanks: 20 Thanked 0 Times in 0 Posts | $f(x+y)+f(x)f(-y)=f(x)+f(y)-f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R}$ Tìm tất cả các hàm f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)+f(x)f(-y)=f(x)+f(y)-f(xy), \forall x,y\in \mathbb{R}$ thay đổi nội dung bởi: bachhammer, 11-08-2014 lúc 09:00 PM |
11-08-2014, 11:02 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Đến từ: HCM - Quê Đà Nẵng Bài gởi: 181 Thanks: 46 Thanked 116 Times in 68 Posts | Trích:
Dễ thấy rằng $f(x)=0$ là một hàm cần tìm. Xét trường hợp $f(x)\ne 0$. Thế $y=0$ ta có: $f(x)+f(x).f(0)=f(x)+f(0)-f(0)\Rightarrow f(0)=0$. Thế $y=-x$ ta có: $f^2(x)=f(x)+f(-x)-f(-x^2)\ (1)$ Thế $x=-y$ ta có: $f^2(-y)=f(-y)+f(y)-f(-y^2)$ hay $f^2(-x)=f(-x)+f(x)-f(-x^2)\ (2)$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $f^2(x)-f^2(-x)=0$ hay $[f(x)-f(-x)][f(x)+f(-x)]=0\ (3)$. Gọi $X$ là tập các $x\in\mathbb R$ sao cho $f(x)=f(-x)$. Từ phương trình hàm ban đầu, thế $y=x$ ta có: $f(2x)+f^2(x)=2f(x)-f(x^2)=f^2(x)\Rightarrow f(2x)=0$ vô lý. Hay tập $X$ bằng rỗng. Do đó từ $(3)$ suy ra $f(x)=-f(-x)$ $\forall x\in\mathbb R$, hay $f$ là hàm lẻ. Từ phương trình hàm ban đầu ta có: $f(x+y)-f(x)f(y)=f(x)+f(y)-f(xy)$ và $f(x-y)+f(x)f(y)=f(x)-f(y)+f(xy)$ Suy ra: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$, suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$. và $f(xy)=f(x).f(y)\ (*)$. Do $f$ lẻ và $(*)$ nên $f(x)\ge 0, \forall x\ge 0$. Từ ta có $f(x)=f(1)x$. Vậy tất cả các hàm cần tìm là $f(x)=0$ hoặc $f(x)=ax$. thay đổi nội dung bởi: tranphongk33, 12-08-2014 lúc 08:33 AM Lý do: Khắc phục lỗi sai | |
The Following User Says Thank You to tranphongk33 For This Useful Post: | bachhammer (12-08-2014) |
11-08-2014, 11:37 PM | #3 | |
Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to mathandyou For This Useful Post: | bachhammer (12-08-2014) |
12-08-2014, 12:02 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Đến từ: HCM - Quê Đà Nẵng Bài gởi: 181 Thanks: 46 Thanked 116 Times in 68 Posts | Mình đã khắc phục chỗ đó, bạn mathandyou xem thử đã được chưa nhé! thay đổi nội dung bởi: tranphongk33, 12-08-2014 lúc 08:33 AM |
The Following User Says Thank You to tranphongk33 For This Useful Post: | bachhammer (12-08-2014) |
12-08-2014, 08:31 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts | Theo mình bạn chỉ cần giả sử có số $a $ khác 0 nào đó thỏa mãn $f(a)=f(-a) $. rồi làm như bạn sẽ ra không có số $a $ nào thỏa mãn nên chỉ cần xét TH còn lại . |
The Following User Says Thank You to tranhongviet For This Useful Post: | bachhammer (12-08-2014) |
12-08-2014, 08:35 AM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Đến từ: HCM - Quê Đà Nẵng Bài gởi: 181 Thanks: 46 Thanked 116 Times in 68 Posts | Mình đã khắc phục rồi đó. Đúng là không thể từ đẳng thức $[f(x)-f(-x)][f(x)+f(-x)]=0$ có thể suy ra thẳng kết quả. |
The Following User Says Thank You to tranphongk33 For This Useful Post: | bachhammer (12-08-2014) |
12-08-2014, 08:40 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts | |
The Following User Says Thank You to tranhongviet For This Useful Post: | bachhammer (12-08-2014) |
12-08-2014, 05:23 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2013 Bài gởi: 8 Thanks: 20 Thanked 0 Times in 0 Posts | Mình xin làm khó bài toán thêm một tí nhá..... Bây giờ ta thay đổi ánh xạ thành: $f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$, trong đó $\mathbb{R}^*$ là tập hợp các số thực khác 0..... |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|