Topic về bất đẳng thức

[crystal_liu]

Nguyên văn bởi legend

Cho a, b, c là các số thực thuộc [-1;1] thỏa: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\le 2abc+1 $. (1)
CMR:
$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}\le 2a^{n}b^{n}c^{n}+1 $

Cm theo qui nạp giả sử bdt đúng đến (2n)
giả sử $a^2 \geq b^2 \geq c^2 => a^{2n} \leq b^{2n} \leq c^{2n} $
theo chepbusep $a^{2n}a^2+b^{2n}b^2+c^{2n}c^2 \leq \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}) $
từ giả thiết (1) và giả thiết qui nạp đưa đpcm về
$(2x+1)(2x^{n}+1) \leq 3(2x^{n+1}+1) $hay
$(x-1)(x^n-1)\ge 0 $ với $abc=x $, đúng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[legend]

Nguyên văn bởi crystal_liu

Cm theo qui nạp giả sử bdt đúng đến (2n)
giả sử $a^2 \geq b^2 \geq c^2 => a^{2n} \leq b^{2n} \leq c^{2n} $
theo chepbusep $a^{2n}a^2+b^{2n}b^2+c^{2n}c^2 \leq \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}) $
từ giả thiết (1) và giả thiết qui nạp đưa đpcm về
$(2x+1)(2x^{n}+1) \leq 3(2x^{n+1}+1) $hay
$(x-1)(x^n-1)\ge 0 $ với $abc=x $, đúng

Theo mình. Chỗ $a^{2} $$\ge $$b^{2} $$\ge $$c^{2} $ bạn không thể suy ra dc $a^{2n} $$\le $$b^{2n} $$\le $$c^{2n} $ a Cẩn đã chứng mình bài này 1 lần rồi. bạn có thể tham khảo tại đây [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]