Thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm giải phương trình hàm

[TrauBo]

Nguyên văn bởi tir

Mọi người trả lời giúp mình câu hỏi này với

TrauBo nghĩ là $f(x)\equiv c$ nghĩa là $f(x)=c \ \forall x$. Còn $f(x)=c$ thì có thể chỉ đúng với một số giá trị của $x$ thôi. Giống như mấy bài ở trên khi ta có $f^2(x)=x^2$

Nguyên văn bởi soros_fighter

Bài này hình như phải có thêm điều kiện $f(x) $ liên tục nữa thì phải

Bài Puntnam 1996 đề đúng rồi bạn. Ở trang 2 có đáp án rồi mà

Nguyên văn bởi tir

Một topic thảo luận về một đề tài hấp dẫn mà để chìm thì thật là phí
Mình nghĩ như thế này: Chúng ta nên đưa ra những mục tiêu thảo luận cụ thể cho những bài toán mà mình post lên, như vậy sẽ đúng chất hơn là chỉ post đề và giải. Về phần lời giải các bạn ghi thêm tí ý tưởng nhé

Đây là những chia sẻ của mình, nếu không đồng tình cũng nhẹ thôi nhé

Cảm ơn bạn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[soros_fighter]

Nguyên văn bởi TrauBo

TrauBo nghĩ là $f(x)\equiv c$ nghĩa là $f(x)=c \ \forall x$. Còn $f(x)=c$ thì có thể chỉ đúng với một số giá trị của $x$ thôi. Giống như mấy bài ở trên khi ta có $f^2(x)=x^2$



Bài Puntnam 1996 đề đúng rồi bạn. Ở trang 2 có đáp án rồi mà



Cảm ơn bạn nhiều

Trong đó có ghi continous function là hàm liên tục đó bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi tir

16) Xác định hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$\begin{matrix}f(0)=2\\f(n+1)=3f(n)+\sqrt{8f^2(n) +1}\end{matrix}, \forall n \in \mathbb{N}$$

Đặt $f(n)=x_n$
Ta có: $x_{n+1}=3x_n+\sqrt{8x_n^2+1}$
$\Leftrightarrow x_{n+1}^2+x_n^2-6x_n.x_{n+1}=1$
Thay $x_{n+1}$ bởi $x_n$ ta đc:
$x_n^2+x_{n-1}^2-6x_n.x_{n-1}=1$
$\Rightarrow x_{n+1}^2-x_{n-1}^2+6x_n{x_{n-1}-x_{n+1}}=0$
$\Rightarrow x_{n+1}-6x_{n}+x_{n-1}=0$
Dùng sai phân tìm đc CTTQ của $x_n$ từ đó suy ra $f(n)$
------------------------------

Nguyên văn bởi tir

15) Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \to\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$\begin{matrix} f(0)=0\\f(1)=2\\f(n+1)f^2(n-1)=f^3(n), \forall n \in \mathbb{N}^*\end{matrix}. $$

Bn thử xem lại đề thay $n=1$ vào thì ko đc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi tir

=============
15) Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \to\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$\begin{matrix} f(0)=0\\f(1)=2\\f(n+1)f^2(n-1)=f^3(n), \forall n \in \mathbb{N}^*\end{matrix}. $$

Bài sau dùng sai phân được không nhỉ?
17) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(f(x))=3f(x)-2x, \forall x\in\mathbb{R}$$

Bài 15 đúng là nếu cho n=1 vào đề ta thấy Vô lý ngay,
Mình nghĩ nên sửa lại $f(0) =1 $ thì đề sẽ hợp lý hơn.

Nếu Mình nhớ ko nhầm thì đã từng làm bài với đề $f(0) =1 $.

*Khi đó ta có bài toán :
15*) Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \to\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $\begin{cases}f(0)=1 \\ f(1)=2 \\ f(n+1)f^2(n-1)=f^3(n) \ \forall n \in \mathbb{N}^*\end{cases} $

Với bài toán thế này thì ý tưởng sai phân khá rõ,và điều mà chúng ta nghĩ đến chính là lấy ln 2 vế,để làm điều này ta cần 2 vế dương.
Và sau đây là ý chính cho bài toán này.

Lời giải : Bằng Phương pháp quy nạp ta CM đk $f(n) > 0 \ \forall n \in \mathbb{N} $
Lấy Logarit 2 vế và đặt $x_n = \ln f(n) $

Khi đó ta có dãy $(x_n ) $ thỏa mãn $\begin{cases} x_0= 0 ; x_1 = \ln2 \\ x_{n+1} + 2x_{n-1} = 3x_n \end{cases} $

Đến đây thì dùng Phương trình đặc trưng ta tìm ra ngay dãy $x_{n} $

Từ đó ta có đk Hàm số cần tìm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Bài 18: (VVT)
Tìm hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục thỏa $$35f(27x)-26f(9x)+3f(3x)-1440x=0 \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Để giải bài này TrauBo nghĩ cần giải bài sau:

Bài $18^+$:
Tìm hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục thỏa $$f(x)=\dfrac{1}{2}f(2x) \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Bạn nào giải được bài $18^+$ thì đưa lên nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi TrauBo

Bài 18: (VVT)
Tìm hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục thỏa $$35f(27x)-26f(9x)+3f(3x)-1440x=0 \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Để giải bài này TrauBo nghĩ cần giải bài sau:

Bài 18*:
Tìm hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục thỏa $$f(x)=\dfrac{1}{2}f(2x) \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Bạn nào giải được bài 18* thì đưa lên nhé

Bài 18 Mình có ý thế này,ko biết đúng ko,Mong mọi người chỉ giáo :

Từ hệ thức thay x bơi 3x ta có $35f(81x) - 26f(27x) + 3f(9x) - 1440.3x =0 $

Kết hợp với hệ thức đã cho ta được $ 35.f(81x) - 131.f(27x) + 81.f(9x) - 9.f(3x) = 0 $

Từ đây thay x bơi $\frac{x}{3^{n+4}} $ ta có : $9.f(\frac{x}{3^{n+3}}) - 81f(\frac{x}{3^{n+2}}) + 131.f(\frac{x}{3^{n+1}}) -35f(\frac{x}{3^{n}}) = 0 $

Với Mỗi x cố định.Đặt $U_n= f(\frac{x}{3^{n}}) $ ta có
$\begin{cases} U_0 = f(x) \\ 9U_{n+3} - 81U_{n+2} +131 U_{n+1} - 35U_{n} = 0 \end{cases} $

Từ đó ta có $U_{n} = A.\frac{1}{3^n}+ B.(\frac{5}{3})^n + C.7^n $

Cho n đến Vô cùng ta có $\lim_{n \to +\infty } U_n =f(0) = 0 $ nên suy ra $B=C=0 $

Từ đó ta có ngay $f(\frac{x}{3^{n}}) = U_n=\frac{f(x)}{3^n}}. \forall n \in \mathbb{N} $

Thay trở lại vào hệ thức đầu bài rồi rút gọn ta được $f(x) = 2x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi thanhorg

Từ đó ta có $U_{n} = A.\frac{1}{3^n}+ B.(\frac{5}{3})^n + C.7^n $

Cho n đến Vô cùng ta có $\lim_{n \to +\infty } U_n =f(0) = 0 $ nên suy ra $B=C=0 $

Từ đó ta có ngay $f(\frac{x}{3^{n}}) = U_n=\frac{f(x)}{3^n}}. \forall n \in \mathbb{N} $

Thay trở lại vào hệ thức đầu bài rồi rút gọn ta được $f(x) = 2x $

Bạn giải thích kĩ hơn phần này được không? Cảm ơn bạn nhiều.
TrauBo nghĩ là $\lim u_n = +\infty$ chứ? Cũng đang bị vướng chỗ này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi TrauBo

Bạn giải thích kĩ hơn phần này được không? Cảm ơn bạn nhiều.
TrauBo nghĩ là $\lim u_n = +\infty$ chứ? Cũng đang bị vướng chỗ này

Mình hiểu là thế này :
Ta có Với mỗi x cố định thì $U_{n} = f(\frac{x}{3^n}) $ nên $\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to +\infty} f( \frac{x}{3^n}) = f(0) =0 $
(chú ý f liên tục nên ta có như thế )

P/s hình như chỉ cần ltuc tại 0 thì phải

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chipnoise]

Cho mình hỏi nếu phương trình hàm muốn sử dụng tính chất hàm cộng tính cần điều kiện gì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi chipnoise

Cho mình hỏi nếu phương trình hàm muốn sử dụng tính chất hàm cộng tính cần điều kiện gì

Cần đk liên tục hoặc bị chặn hoặc đơn điệu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi thanhorg

Bài 18 Mình có ý thế này,ko biết đúng ko,Mong mọi người chỉ giáo :

Từ hệ thức thay x bơi 3x ta có $35f(81x) - 26f(27x) + 3f(9x) - 1440.3x =0 $

Kết hợp với hệ thức đã cho ta được $ 35.f(81x) - 131.f(27x) + 81.f(9x) - 9.f(3x) = 0 $

Từ đây thay x bơi $\frac{x}{3^{n+4}} $ ta có : $9.f(\frac{x}{3^{n+3}}) - 81f(\frac{x}{3^{n+2}}) + 131.f(\frac{x}{3^{n+1}}) -35f(\frac{x}{3^{n}}) = 0 $

Với Mỗi x cố định.Đặt $U_n= f(\frac{x}{3^{n}}) $ ta có
$\begin{cases} U_0 = f(x) \\ 9U_{n+3} - 81U_{n+2} +131 U_{n+1} - 35U_{n} = 0 \end{cases} $

Từ đó ta có $U_{n} = A.\frac{1}{3^n}+ B.(\frac{5}{3})^n + C.7^n $

Cho n đến Vô cùng ta có $\lim_{n \to +\infty } U_n =f(0) = 0 $ nên suy ra $B=C=0 $

Từ đó ta có ngay $f(\frac{x}{3^{n}}) = U_n=\frac{f(x)}{3^n}}. \forall n \in \mathbb{N} $

Thay trở lại vào hệ thức đầu bài rồi rút gọn ta được $f(x) = 2x $

TrauBo nghĩ là $\lim u_=0$ thì không suy ra được $B=C=0$ đâu. Nếu $BC<0$ thì $u_n$ vô định, nghĩa là không tìm ra giới hạn chứ chưa kết luận được là $\lim \ne 0$. Bài này giải như sau có lẽ hay hơn:

$$35f(27x)-26f(9x)+3f(3x)-1440x=0$$
Tính được $f(0)=0$.
Thay $x \to \dfrac{x}{3}$: $35f(x)-26f(\frac{x}{3})+3f(\frac{x}{9})-\frac{160x}{3}=0\ (*)$
Đặt $g(x)=f(x)-2x \Rightarrow g(0)=0$.
Từ (*) suy ra $$35g(x)-26g(\frac{x}{3})+3g(\frac x9)=0 \Leftrightarrow 35g(x)-21g(\frac x3)=5g(\frac x3)-3g(\frac x9)$$
Đặt $t(x)=5g(x)-3g(\frac x9)$ suy ra $t(0)=0$ và $$7t(x)=t(\frac x3) \Leftrightarrow t(x)=\frac 17t(\frac x3)=\frac{1}{49}t(\frac x9)=...=(\frac 17)^nt(\frac{x}{3^n})$$
Cho $\displaystyle n \to +\infty: (\frac 17)^nt(\frac{x}{3^n}) \to 0.t(0)=0$
Do đó $t(x)=0 \ \forall x \Rightarrow 5g(x)=3g(\frac x3)$
Làm tương tự có $g(x)=0 \forall x \Rightarrow f(x)=2x \ \forall x$.
Thử lại thấy hàm này thỏa mãn.





Bài 19: Tìm $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thỏa $$f(f(x)+y)=x+f(y) \ \forall x,y \in \mathbb{Q}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi TrauBo

T
Bài 19: Tìm $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thỏa $$f(f(x)+y)=x+f(y) \ \forall x,y \in \mathbb{Q}$$

Dễ thấy $f$ là hàm đơn ánh.
Cho $x=y=0$ thì $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$
Cho $y=0 \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f$ là hàm song ánh.
Ta có: $f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$
Dễ thấy $f(nx)=nf(x), \forall n \in \mathbb{N}$
$\Rightarrow f(1)=n.f \left(\dfrac{1}{n} \right) \Rightarrow f \left(\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{f(1)}{n}$
Với $x=\dfrac{m}{n}, m, n \in \mathbb{N}; (m; n)=1$ thì
$f(x)=mf \left(\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{m}{n}.f(1)$
$\Rightarrow f(x)=xf(1)=ax, \forall x \in \mathbb{Q}, a$ là hằng số.
Thay vào gt ta đc $a= \pm 1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tffloorz]

Một bài toán khá hay
Bài 20: Cho $ a \in (0 , 1) $. Tìm hàm số $f$ liên tục trên $[0 , 1] \rightarrow R$ và thỏa mãn:
$$\begin{cases} f(0) = 0 ; f(1) = 1 \\ f( \dfrac{x + y}{2}) = (1 - a)f(x) + af(y) ; x,y \in [0 , 1]; x \le y \end{cases} $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi tffloorz

Một bài toán khá hay
Bài 20: Cho $ a \in (0 , 1) $. Tìm hàm số $f$ liên tục trên $[0 , 1] \rightarrow R$ và thỏa mãn:
$$\begin{cases} f(0) = 0 ; f(1) = 1 \\ f( \dfrac{x + y}{2}) = (1 - a)f(x) + f(y) ; x,y \in [0 , 1]; x \le y \end{cases} $$

Bn kiểm tra lại đề thử coi.
Nếu cho $x=y$ thì $f(x)=(1-a)f(x)+ f(x) \Leftrightarrow f(x)=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[AnhIsGod]

Bài 21: Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn rằng: $x^{2}f(x)+y^{2}f(y)-(x+y)f(xy)=(x-y)^{2}f(x+y) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]