Kỳ Thi Chọn HSGQG Môn Toán 2013 - Đề thi

[n.v.thanh]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012

-------- Ngày thi thứ hai -------------

Thời gian 180 phút

[Only registered and activated users can see links. ] (7 điểm).Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$


[Only registered and activated users can see links. ] (7 điểm).Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định


[Only registered and activated users can see links. ] (6 điểm).Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa
$$\left\{ \begin{align}
& ab+{{a}^{'}}{{b}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
& ac+{{a}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
& bc+{{b}^{'}}{{c}^{'}}\equiv 1\left( \bmod 15 \right) \\
\end{align} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$

------------ Hết ------------

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]