$f(x^2+f(y))=y+f^2(x)$

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
$$f(x^2+f(y))=y+f^2(x),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$$

Lời giải (đây là lời giải của mình, m.n xem coi chỗ nào sai mà kết quả ra kì quá @@)

Ta chứng minh $f$ là đơn ánh. Thật vậy, giả sử $\exists x_1,x_2\in \mathbb{R}:f(x_1)=f(x_2)$
Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0),\;\forall y\in \mathbb{R}$
Từ đó $f(f(x_1))=f(f(x_2))\Rightarrow x_1+f^2(0)=x_2+f^2(0)\Rightarrow x_1=x_2$. Do đó $f$ đơn ánh.
Đặt $f(0)=a$, trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=a^2=f(-a)$. Do $f$ đơn ánh nên $a=-a$ hay $a=0$
Vậy ta có $f(0)=0$.
Trong $(1)$ cho $y=0$ được $f(x^2+f(0))=f^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x^2)=f^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$
Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0)=y,\;\forall y\in \mathbb{R}$
Do đó $(1)$ được viết thành :
$f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(f(y))\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R},x\geq 0$
Trong $(2)$ ta thay $x$ bởi $-x$ được $f(x^2)=f^2(-x),\;\forall x\in \mathbb{R}$. Kết hợp với $(2)$ suy ra $f^2(x)=f^2(-x)\Rightarrow f(-x)=\pm f(x) ,\;x\in \mathbb{R}$. Nếu $f(x)=f(-x),\;\forall x\in \mathbb{R}$ thì do $f$ đơn ánh ta suy ra $x=-x,\;\forall x\in \mathbb{R}$, mâu thuẫn.
Do vậy $f(-x)=-f(x)$.
Do đó với $x\leq 0$ ta có :
$f(y)=f(-x+(x+y))=f(-x)+f(x+y)=-f(x)+f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R},x\leq 0$
Vậy ta được
$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$

Ta sẽ tính biểu thức $f((x+1)^2)$ theo $(2)$ và $(3)$ :
$f((x+1)^2)=f^2(x+1)=(f(x)+f(1))^2=f^2(x)+2f(x)f(1 )+f^2(1),\;\forall x\in \mathbb{R}$
$f((x+1)^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+2f(x)+f(1)=f^2(x)+2 f(x)+f(1),\;\forall x\in \mathbb{R}$
Từ hai kết quả này ta suy ra :
$f^2(x)+2f(x)f(1)+f^2(1)=f^2(x)+2f(x)+f(1),\;\fora ll x\in \mathbb{R}\Rightarrow 2f(x)(1-f(1))=f^2(1)\;\;(*)$

Từ đây suy ra $f$ là hàm hằng , nhưng rõ ràng hàm $f(x)=x$ thỏa đề .


Ai có cách hay chỉ giáo !!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[giabao185]

Nguyên văn bởi Juliel

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
$$f(x^2+f(y))=y+f^2(x),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$$

Lời giải (đây là lời giải của mình, m.n xem coi chỗ nào sai mà kết quả ra kì quá @@)


Từ hai kết quả này ta suy ra :
$f^2(x)+2f(x)f(1)+f^2(1)=f^2(x)+2f(x)+f(1),\;\fora ll x\in \mathbb{R}\Rightarrow 2f(x)(1-f(1))=f^2(1)\;\;(*)$

Từ đây suy ra $f$ là hàm hằng , nhưng rõ ràng hàm $f(x)=x$ thỏa đề .


Ai có cách hay chỉ giáo !!

Dòng cuối bị sai rùi:
$f^2(x)+2f(x)f(1)+f^2(1)=f^2(x)+2f(x)+f(1)$
$\leftrightarrow 2f(x).(f(1)-1)=f(1)-f^2(1)$
Từ đây chỉ suy ra được f(1)=1 mà thôi.
Mình có lời giải như sau:
Ta c/m được:
+$f(f(y))=y\rightarrow$ f song ánh
+$f(0)=0$
+$f(x^2)=f^2(x)\rightarrow với mọi x>0:f(x)>0 $
+$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;$
Ta chứng minh f đơn điệu tăng.Thật vậy:
Với mọi x>y$ :f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)+f(y)> f(y) (f(x-y)>0)$
$Vậy f đơn điệu tăng và f(x+y)=f(x)+f(y),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;$
$\rightarrow f(x)=cx $(PTH cauchy)
Thế lại pt đầu ta thu được c=1
$\rightarrow f(x)=x \forall x \in \mathbb{R}$(Thử lại thấy thỏa mãn)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]