Bài toán chứng minh giới hạn

[toansocaplqd]

Cho dãy số thực $\left ( a_{n} \right ) $ xác định bởi $a_{1}=1 $ và $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}, \forall n\geq 1 $
Chứng minh rằng $lim\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luxubuhl]

Nguyên văn bởi toansocaplqd

Cho dãy số thực $\left ( a_{n} \right ) $ xác định bởi $a_{1}=1 $ và $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}, \forall n\geq 1 $
Chứng minh rằng $lim\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{2} $

Đây là một bài toán áp dụng cơ bản định lý Trung Bình Cesaro.

Bài toán tổng quát: Cho dãy $x_n$ thỏa $x_{n+1}=x_n \pm x_n^a$.

Khi đó, để tìm giới hạn của dãy $u_n=\frac{x_n}{n^b}$, ta chỉ cần tìm giới hạn của $\lim (x_{n+1}^c-x_n^c)$ với $c=\frac{1}{b}$.

Trong bài này chỉ cần xét: $\lim (a_{n+1}^2-a_n^2)$ và áp dụng ĐLTB Cesaro là ra thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]