Hai bài số học.....

[susi]

1) Chứng minh rằng tồn tại hoán vị $(a_0,a_1,\ldots,a_n) $ của $(0,1,\ldots,n) $ sao cho $a_k+k $ là số chính phương , $\forall k=0,1,\ldots,n $
2) Cho $n $ là số tự nhiên tùy ý, giả sử ta viết lên bảng các số từ 1 đến $n $, mỗi số có mặt ít nhất một lần và tổng các chữ số đã viết là chẵn. Chứng minh rằng có thể chia các số đã viết thành hai nhóm có tổng bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi susi

1) Chứng minh rằng tồn tại hoán vị $(a_0,a_1,\ldots,a_n) $ của $(0,1,\ldots,n) $ sao cho $a_k+k $ là số chính phương , $\forall k=0,1,\ldots,n $

ví dụ $a_0=2, a_1=5 $ thì bộ đó là $(2,5) $

mình có thấy số chính phương nào đâu $2+0=2, 5+1=6 $

$2+1=3,5+0=5 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anne™]

Nguyên văn bởi daylight

ví dụ $a_0=2, a_1=5 $ thì bộ đó là $(2,5) $

mình có thấy số chính phương nào đâu

Bạn hiểu sai đề rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kryptios]

ý tưởng của bài 1 là quy nạpkhi đã biết phương pháp thì việc này không khó lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinhhop.qt]

Nguyên văn bởi susi

1) Chứng minh rằng tồn tại hoán vị $(a_0,a_1,\ldots,a_n) $ của $(0,1,\ldots,n) $ sao cho $a_k+k $ là số chính phương , $\forall k=0,1,\ldots,n $

Trường hợp $n=m^2 $ thì chọn $a_k=m^2-k. $
Trường hợp $m^2<n<(m+1)^2 $ thì tách $(0,1,2,\ldots,n) $ thành $(0,1,\ldots,m^2+2m-n) $ và $((m+1)^2-n, \ldots, n) $. Sau đó, bộ $(0,1,\ldots,m^2+2m-n) $ thì "làm được" theo quy nạp. Còn với bộ $((m+1)^2-n, \ldots, n) $ thì chọn $a_k=(m+1)^2-k $ (chú ý là với bộ thứ hai này, $(m+1)^2-n\le k\le n. $)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]