Bài phương trình hàm...chào mừng ngày quốc khánh

**Lan Phuog** · 30-08-2011, 04:52 PM

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Q \to \mathbb Q $ thoả mãn: $f(x+f(y))=f(x+\frac{2}{9})+y+\frac{1945}{2011} $ với mọi $x,y\in Q $

pabopit · 30-08-2011, 09:26 PM

Lời giải cũng để ...chào mừng ngày quốc khánh

đặt $a=\frac{2}{9} $,$b=\frac{1945}{2011} $
suy ra $f(x+f(y))=f(x+a)+y+b $
Đặt $g(x)=f(x)-a-b \Rightarrow g(x+g(y)+b)=g(x)+y+b $ (1)
Xét x,y,z thuộc Q bất kỳ.Ta có $g(x)+z+g(y)+b+b=g(x+b+g(z+g(y)+b))=g(x+b+g(z)+y+b) $
$=g(x+y+b)+z+b $ (tất cả các biến đổi chỉ áp dụng (1) mà thôi)
suy ra $g(x+y+b)=g(x)+g(y)+b $với mọi x,y thuộc Q.
Cho y=0 thì $g(x+b)=g(x)+g(0)+b. $ suy ra $g(x+y+b)=g(x+y)+g(0)+b $
suy ra $g(x+y)+g(0)=g(x)+g(y) $.đặt $h(x)=g(x)-g(0) $
Từ đó h(x+y)=h(x)+h(y) với mọi x,y thuộc Q.
Suy ra $h(x)=kx $ suy ra tìm được g và f.

**Lan Phuog** · 30-08-2011, 10:07 PM

Trích:

Nguyên văn bởi pabopit

$g(x+y+b)=g(x)+g(y)+b $với mọi x,y thuộc Q.Cho $x=y=0 $ thì $g(0)=0 $

Biến đổi bên trên cuả bạn đúng rồi,chỉ có bước này là có vấn đề! Bạn xem lại nhé!

pabopit · 30-08-2011, 10:38 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Lan Phuog

Biến đổi bên trên cuả bạ̣n đúng rồi,chỉ có bước này là có vấn đề! Bạn xem lại nhé!

Uk.Lần đầu mình làm thế này,sau đó phát hiện ra chỗ đó sai.Trong lời giải mới tớ quên xoá câu đó.Chỉ cần bỏ nó đi là được.

**Lan Phuog** · 30-08-2011, 11:09 PM

Trích:

Nguyên văn bởi pabopit

Cho y=0 thì $g(x+b)=g(x)+b. $ suy ra $g(x+y+b)=g(x+y)+b $
suy ra $g(x+y)+g(0)=g(x)+g(y) $.đặt $h(x)=g(x)-g(0) $
Từ đó h(x+y)=h(x)+h(y) với mọi x,y thuộc Q.
Suy ra $h(x)=kx $ suy ra tìm được g và f.

Vấn đề lại đặt ra từ dòng đầu tiên cuả đoạn này. Bạn nên xem xét thật kĩ lgiải cuả mình! Bài này có 2đsố là $f(x)=x+a+b; f(x)=-x+a-b $ với mọi $x\in Q $

pabopit · 30-08-2011, 11:14 PM

Ôi,xin lỗi,t gõ nhầm thôi mà.Bạn cũng xem mấy câu dưới nữa đi chứ.Đã sửa lại rùi.

**Lan Phuog** · 30-08-2011, 11:44 PM

Còn 1cách đặt hàm phụ cũng khá ấn tượng là $f(x)=g(x+b)+a $. Ta có $g(g(y+b)+x+a+b)=g(x+a+b)+y+b $ hay $g(g(u)+v)=g(v)+u $ với mọi $u,v\in Q $. Suy ra $g(g(g(u)+v))=g(u)+v $ hay $g(g(x))=x $ với mọi $x\in Q $ (suy từ tính toàn ánh). Từ đó ta cũng thu được $g $ cộng tính trên $Q $ và $g(0)=0 $. Ta tìm được 2hàm như trên.

30-08-2011, 04:52 PM	#1
Lan Phuog +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Thái Bình Bài gởi: 564 Thanks: 289 Thanked 326 Times in 182 Posts	Bài phương trình hàm...chào mừng ngày quốc khánh Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Q \to \mathbb Q $ thoả mãn: $f(x+f(y))=f(x+\frac{2}{9})+y+\frac{1945}{2011} $ với mọi $x,y\in Q $ thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 30-08-2011 lúc 09:51 PM

30-08-2011, 09:26 PM	#2
pabopit +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 77 Thanks: 29 Thanked 58 Times in 41 Posts	Lời giải cũng để ...chào mừng ngày quốc khánh đặt $a=\frac{2}{9} $,$b=\frac{1945}{2011} $ suy ra $f(x+f(y))=f(x+a)+y+b $ Đặt $g(x)=f(x)-a-b \Rightarrow g(x+g(y)+b)=g(x)+y+b $ (1) Xét x,y,z thuộc Q bất kỳ.Ta có $g(x)+z+g(y)+b+b=g(x+b+g(z+g(y)+b))=g(x+b+g(z)+y+b) $ $=g(x+y+b)+z+b $ (tất cả các biến đổi chỉ áp dụng (1) mà thôi) suy ra $g(x+y+b)=g(x)+g(y)+b $với mọi x,y thuộc Q. Cho y=0 thì $g(x+b)=g(x)+g(0)+b. $ suy ra $g(x+y+b)=g(x+y)+g(0)+b $ suy ra $g(x+y)+g(0)=g(x)+g(y) $.đặt $h(x)=g(x)-g(0) $ Từ đó h(x+y)=h(x)+h(y) với mọi x,y thuộc Q. Suy ra $h(x)=kx $ suy ra tìm được g và f. thay đổi nội dung bởi: pabopit, 30-08-2011 lúc 11:13 PM

30-08-2011, 11:14 PM	#6
pabopit +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2011 Bài gởi: 77 Thanks: 29 Thanked 58 Times in 41 Posts	Ôi,xin lỗi,t gõ nhầm thôi mà.Bạn cũng xem mấy câu dưới nữa đi chứ.Đã sửa lại rùi. thay đổi nội dung bởi: pabopit, 30-08-2011 lúc 11:17 PM

30-08-2011, 11:44 PM	#7
Lan Phuog +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Thái Bình Bài gởi: 564 Thanks: 289 Thanked 326 Times in 182 Posts	Còn 1cách đặt hàm phụ cũng khá ấn tượng là $f(x)=g(x+b)+a $. Ta có $g(g(y+b)+x+a+b)=g(x+a+b)+y+b $ hay $g(g(u)+v)=g(v)+u $ với mọi $u,v\in Q $. Suy ra $g(g(g(u)+v))=g(u)+v $ hay $g(g(x))=x $ với mọi $x\in Q $ (suy từ tính toàn ánh). Từ đó ta cũng thu được $g $ cộng tính trên $Q $ và $g(0)=0 $. Ta tìm được 2hàm như trên. Post bằng đt nên hơi khó nhìn. mọi ng thông cảm!