Bài toán Dãy số Kiểm tra Đội tuyển Quốc gia 2015

[lovemaths97]

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(c_{n})$ xác định bởi công thức:
$c_{0}=1$ và $c_{n}=\frac{1}{2}(1-c_{n-1}.c_{1}-c_{n-2}.c_{2}-...-c_{2}.c_{n-2}-c_{1}.c_{n-1})$, với mọi số nguyên dương $n$.

(Bài 2-Kiểm tra Đội tuyển Học sinh giỏi Quốc gia tỉnh Ninh Thuận năm học 2014-2015)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buivanloc]

Bài này dùng hàm sinh ra thôi

Tính ra: $ a_n = \frac{ \binom{2n}{n}}{4^n}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Livetolove2207]

Bạn có thể giải ra cụ thể được không?
Mình thấy công thức không đúng với $c_{1}$ thì phải.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buivanloc]

Nói chung đây là đề bài này không chặt, bạn thấy đó, hệ thức truy hồi đưa ra chỉ cho xác định các giá trị $a_n$ với $n \ge 2$ thôi, còn $a_1$ thì phải cho trước bằng $1/2$

Mình gợi ý vậy là nhiều rồi, mấu chốt bài này chỉ là dùng đếm $2$ cách để ra được cái đẳng thức

$ \sum_{ k =0}^{ n} \binom{2k}{k} \binom{2(n-k)}{n-k} = 4^n$

Hệ thức rất quen thuộc, nếu bạn khống nghĩ ra được cách đếm 2 cách ra sao thì ấn vào gợi ý

Hãy tính số cách tô n điểm liên tiếp bởi 4 màu xanh, vàng, đỏ , tim

Bạn chia ra các trường hợp: Tổng của số các điểm xanh và đỏ là $k$ với $k$ chạy từ $0$ đến $n$, rồi dùng quy tắc nhân để tính số cách tô trong TH này, sau đó dùng quy tắc cộngvới $k$ chạy từ $0$ đến $n$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]