Một bài nghiệm nguyên

Thesoulofrock · 06-02-2010, 12:37 PM

Lâu rồi không làm toán sơ cấp nữa, hôm nay tình cờ vào đây thấy bài toán vui vui, làm mình nhớ tới "giả thuyết Catalan", nổi hứng nghĩ ra được bài này. Thực ra nó cũng là hệ quả của định lý Catalan-Mihailescu nhưng lời giải đơn giản hơn rất nhiều. Mời các bạn cùng thử sức

Tìm các cặp nghiệm nguyên (a, b) của phương trình $a^b=b^a+1 $ trong đó a và b là các số nguyên dương.

daihiep1707 · 07-02-2010, 12:41 PM

Từ giả thuyết suy ra (a,b)=1.Gọi h là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho p|${b}^{h} $-1.gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a.khi đó ta có p|${b}^{2a} $-1 và p|${b}^{p-1} $-1---->h|(2a,p-1)---->h=2--->OK?
Chú ý a lẻ

Thesoulofrock · 07-02-2010, 02:26 PM

Viết linh ta linh tinh, chẳng dẫn đến điều gì cả.
Thứ nhất h có thể là 1 hoặc 2. Trong trường hợp nghiệm là 2 và 3 thì h=1.
Thứ hai, nhỏ thôi, cách trình bày chẳng ai chịu được, nên tôn trọng công sức của mình cũng như tôn trọng người đọc một tí.

truongthikimch · 08-02-2010, 03:20 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Thesoulofrock

Viết linh ta linh tinh, chẳng dẫn đến điều gì cả.
Thứ nhất h có thể là 1 hoặc 2. Trong trường hợp nghiệm là 2 và 3 thì h=1.
Thứ hai, nhỏ thôi, cách trình bày chẳng ai chịu được, nên tôn trọng công sức của mình cũng như tôn trọng người đọc một tí.

Bạn nói người khác nhưng tôi cũng chẳng hiểu bạn giải thế nào.Theo CAtalan thì (2,3).Tôi cứ nghĩ bạn có cách giải khác chứ!Nếu theo catalan thì hiển nhiên rồi,nói làm gì

Thesoulofrock · 08-02-2010, 09:26 PM

Tất nhiên phải có cách giải khác tôi mới post, nhưng mà post lên để mọi người giải nên tôi đâu cần phải đưa ra ngay.

truongthikimch · 12-02-2010, 12:00 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Thesoulofrock

Tất nhiên phải có cách giải khác tôi mới post, nhưng mà post lên để mọi người giải nên tôi đâu cần phải đưa ra ngay.

Bạn giải đi nhé!

Thesoulofrock · 13-02-2010, 09:22 AM

Bài này chỉ là mẹo vặt thôi

Cứ để vài hôm nữa đã

newbie · 13-02-2010, 01:05 PM

TH1: $0<a,b<3 $
$a=2;b=1 $
TH2 :$a,b>2 $
$a^b>b^a \Rightarrow a<b $
Nhưng :$a^b-1=b^a \Rightarrow $$ a-1=1 $(loại) hoặc $b|a-1 $
$\Rightarrow a>b $ (mâu thuẫn)

Talent · 13-02-2010, 01:50 PM

Trích:

Nguyên văn bởi newbie

TH1: $0<a,b<3 $
$a=2;b=1 $
TH2 :$a,b>2 $
$a^b>b^a \Rightarrow a<b $
Nhưng :$a^b-1=b^a \Rightarrow $$ a-1=1 $(loại) hoặc $b|a-1 $
$\Rightarrow a>b $ (mâu thuẫn)

Cái này đâu có đúng. Có thể thấy rằng a=3,b=2 vẫn là nghiệm. Mà bạn chia như thế chưa hết trường hợp đâu.
Bài này theo mình cũng chia như thế sau đó khảo sát hàm theo một biến thôi. Khi đó tìm được chặn của a và b.

duycvp · 13-02-2010, 02:29 PM

Chẳng lẽ phương trình trên chi có nghiệm (3,2) thui sao

newbie · 13-02-2010, 05:58 PM

Lời giải trên của mình sai nhìu quá

t.d.anh · 17-02-2010, 04:36 PM

bài nài dùng cấp số có lẽ là đơn giản về mặt ý tưởng nhất nhưng mà viết ra thì hơi dài.ai có kách làm khác thì post lên cho ae tham khảo đi.

quanghuyhl07 · 17-02-2010, 11:41 PM

Bài này dùng bất đẳng thức có được không nhỉ

Red Devils · 18-02-2010, 12:05 AM

Trích:

Nguyên văn bởi t.d.anh

bài nài dùng cấp số có lẽ là đơn giản về mặt ý tưởng nhất nhưng mà viết ra thì hơi dài.ai có kách làm khác thì post lên cho ae tham khảo đi.

Trích:

Nguyên văn bởi quanghuyhl07

Bài này dùng bất đẳng thức có được không nhỉ

Hãy làm một việc gì đó có ích hơn thay vì những bài post như thế này

**chemthan** · 18-02-2010, 08:46 PM

Giả sử $p $ là một ước nguyên tố lẻ của $a-1 $.
$a=p^\alpha.k+1,b=p^\beta.l $. Ta có:
$p^{\alpha+\beta}||a^b-1, p^{\beta.(p^\alpha.k+1)}||b^a $.
$\Rightarrow \alpha+\beta=\beta.(p^\alpha.k+1)=\beta+p^\alpha.k .\beta>\alpha+\beta $, vô lý.
Do đó $a=2 $ hoặc $a=2^\alpha+1 $.
*)$a=2,b=1 $.
*)$a=2^k+1 $.
Ta có: $a^b=b^a+1=-((-b)^a-1) $.
$b $ phải chẳn và gọi $p $ là một ước nguyên tố lẻ của $b+1 $.
$a=p^\alpha.k,b+1=p^\beta.l $.
$\Rightarrow \beta=\alpha.(p^\beta.l-2)\geq 3^\beta-2\geq \beta $.
Vì vậy $\alpha=1,p=3,\beta=1 $, hay $a=3, b=2 $.

06-02-2010, 12:37 PM	#1
Thesoulofrock +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Cambridge, UK Bài gởi: 156 Thanks: 1 Thanked 73 Times in 45 Posts	Một bài nghiệm nguyên Lâu rồi không làm toán sơ cấp nữa, hôm nay tình cờ vào đây thấy bài toán vui vui, làm mình nhớ tới "giả thuyết Catalan", nổi hứng nghĩ ra được bài này. Thực ra nó cũng là hệ quả của định lý Catalan-Mihailescu nhưng lời giải đơn giản hơn rất nhiều. Mời các bạn cùng thử sức Tìm các cặp nghiệm nguyên (a, b) của phương trình $a^b=b^a+1 $ trong đó a và b là các số nguyên dương. __________________ Rằng xưa có gã từ quan Lên non tìm động hoa vàng ngủ say

07-02-2010, 12:41 PM	#2
daihiep1707 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2009 Bài gởi: 46 Thanks: 0 Thanked 7 Times in 7 Posts	Từ giả thuyết suy ra (a,b)=1.Gọi h là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho p\|${b}^{h} $-1.gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a.khi đó ta có p\|${b}^{2a} $-1 và p\|${b}^{p-1} $-1---->h\|(2a,p-1)---->h=2--->OK? Chú ý a lẻ __________________ *CON ĐƯỜNG TA ĐI CÓ THỂ KO PHẢI LÀ DỄ NHẤT NHƯNG ĐÓ LÀ CON ĐƯỜNG NHANH NHẤT!!*

07-02-2010, 02:26 PM	#3
Thesoulofrock +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Cambridge, UK Bài gởi: 156 Thanks: 1 Thanked 73 Times in 45 Posts	Viết linh ta linh tinh, chẳng dẫn đến điều gì cả. Thứ nhất h có thể là 1 hoặc 2. Trong trường hợp nghiệm là 2 và 3 thì h=1. Thứ hai, nhỏ thôi, cách trình bày chẳng ai chịu được, nên tôn trọng công sức của mình cũng như tôn trọng người đọc một tí. __________________ Rằng xưa có gã từ quan Lên non tìm động hoa vàng ngủ say thay đổi nội dung bởi: Thesoulofrock, 07-02-2010 lúc 02:31 PM Lý do: Viết lại cho lịch sự hơn

08-02-2010, 09:26 PM	#5
Thesoulofrock +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Cambridge, UK Bài gởi: 156 Thanks: 1 Thanked 73 Times in 45 Posts	Tất nhiên phải có cách giải khác tôi mới post, nhưng mà post lên để mọi người giải nên tôi đâu cần phải đưa ra ngay. __________________ Rằng xưa có gã từ quan Lên non tìm động hoa vàng ngủ say thay đổi nội dung bởi: Thesoulofrock, 08-02-2010 lúc 09:43 PM

13-02-2010, 09:22 AM	#7
Thesoulofrock +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Cambridge, UK Bài gởi: 156 Thanks: 1 Thanked 73 Times in 45 Posts	Bài này chỉ là mẹo vặt thôi Cứ để vài hôm nữa đã __________________ Rằng xưa có gã từ quan Lên non tìm động hoa vàng ngủ say

13-02-2010, 01:05 PM	#8
newbie +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2009 Bài gởi: 266 Thanks: 17 Thanked 164 Times in 84 Posts	TH1: $0<a,b<3 $ $a=2;b=1 $ TH2 :$a,b>2 $ $a^b>b^a \Rightarrow a<b $ Nhưng :$a^b-1=b^a \Rightarrow $$ a-1=1 $(loại) hoặc $b\|a-1 $ $\Rightarrow a>b $ (mâu thuẫn)

13-02-2010, 02:29 PM	#10
duycvp +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2009 Bài gởi: 15 Thanks: 33 Thanked 5 Times in 3 Posts	Chẳng lẽ phương trình trên chi có nghiệm (3,2) thui sao

13-02-2010, 05:58 PM	#11
newbie +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2009 Bài gởi: 266 Thanks: 17 Thanked 164 Times in 84 Posts	Lời giải trên của mình sai nhìu quá

17-02-2010, 04:36 PM	#12
t.d.anh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2008 Đến từ: Ha Long,Quảng Ninh Bài gởi: 51 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	bài nài dùng cấp số có lẽ là đơn giản về mặt ý tưởng nhất nhưng mà viết ra thì hơi dài.ai có kách làm khác thì post lên cho ae tham khảo đi. __________________ ( _^ )_(¯`v´¯)«_(¯`·¸-»^-^Đ—Ư—C—A—N—H^-^«-¸·´¯)_»(¯`v´¯)_( ^_ )

17-02-2010, 11:41 PM	#13
quanghuyhl07 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: chốn xa xôi hẻo lánh Bài gởi: 92 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 9 Posts	Bài này dùng bất đẳng thức có được không nhỉ

18-02-2010, 08:46 PM	#15
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Giả sử $p $ là một ước nguyên tố lẻ của $a-1 $. $a=p^\alpha.k+1,b=p^\beta.l $. Ta có: $p^{\alpha+\beta}\|\|a^b-1, p^{\beta.(p^\alpha.k+1)}\|\|b^a $. $\Rightarrow \alpha+\beta=\beta.(p^\alpha.k+1)=\beta+p^\alpha.k .\beta>\alpha+\beta $, vô lý. Do đó $a=2 $ hoặc $a=2^\alpha+1 $. )$a=2,b=1 $. )$a=2^k+1 $. Ta có: $a^b=b^a+1=-((-b)^a-1) $. $b $ phải chẳn và gọi $p $ là một ước nguyên tố lẻ của $b+1 $. $a=p^\alpha.k,b+1=p^\beta.l $. $\Rightarrow \beta=\alpha.(p^\beta.l-2)\geq 3^\beta-2\geq \beta $. Vì vậy $\alpha=1,p=3,\beta=1 $, hay $a=3, b=2 $. thay đổi nội dung bởi: chemthan, 18-02-2010 lúc 08:51 PM