Một số bài toán về số học THCS

[daylight]

Nguyên văn bởi pampam_kh

Tìm số chính phương abcd và dcba biết dcba chia hết cho abcd

( abcd và dcba là số có 4 chữ số)

các chữ số tận cùng của $1 $ số chính phương là $0,1,4,5,6,9 $ nhưng trong trường hợp này vì $a,d \not=0 $ nên ta sẽ không xét trường hợp đó.
Nếu $a=5 $ thì $d=5 $ và do đó $b=c=2 $. trường hợp này không thỏa mãn.
Nếu $a=6 $ thì $d=6 $ và $b=c $ ta có $\sqrt{6006}<\overline{6xx6}<\sqrt{6996} $ hay $77<\overline{6xx6}<83 $
nhưng trong $\overline{77,83} $ không có số nào bình phương tận cùng bằng 6. Vậy không thỏa mãn, tương tự ta cũng có $a,d \not=9 $

nếu $a=4 $. trường hợp $d=4 $ làm tương tự trên.
Xét trường hợp $d \not=4 $ tức là $\overline{dcba}=k\overline{abcd} (k \ge 2) $
từ đó suy ra $d=9 $. vậy ta có :
$\overline{9cb4}=2\overline{4bc9} \Rightarrow 986+\overline{cb}.10=20.\overline{bc} $
Vô lí vì $10\not|986 $

Nếu $a=1 $ thì $d=\{4,5,6,9\} $ như vậy ta sẽ có các trường hợp sau:

1. $\overline{4cb1}=m.\overline{1bc4} $
2. $\overline{5cb1}=m_1.\overline{1bc5} $
3. $\overline{6cb1}=m_2.\overline{1bc6} $
4. $\overline{9cb1}=m_3.\overline{1bc9} $

ở trường hợp 1,3 vế trái lẻ vô lí.
trường hợp 2 vế trái không chia hết cho 5

Vậy chỉ có trường hợp 4 thỏa mãn, để ý vế trái tận cùng bằng 1, nên $m_3=9 $ suy ra $\overline{9cb1}=9.\overline{1bc9} $
Đến đây bạn có thể phang nó nhẹ nhàng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mathpro123]

Nguyên văn bởi daylight

các chữ số tận cùng của $1 $ số chính phương là $0,4,5,6,9 $ nhưng trong trường hợp này vì $a,d \not=0 $ nên ta sẽ không xét trường hợp đó.
Nếu $a=5 $ thì $d=5 $ và do đó $b=c=2 $. trường hợp này không thỏa mãn.
Nếu $a=6 $ thì $d=6 $ và $b=c $ ta có $\sqrt{6006}<\overline{6xx6}<\sqrt{6996} $ hay $77<\overline{6xx6}<83 $
nhưng trong $\overline{77,83} $ không có số nào bình phương tận cùng bằng 6. Vậy không thỏa mãn, tương tự ta cũng có $a,d \not=9 $

nếu $a=4 $. trường hợp $d=4 $ làm tương tự trên.
Xét trường hợp $d \not=4 $ tức là $\overline{dcba}=k\overline{abcd} (k \ge 2) $
từ đó suy ra $d=9 $. vậy ta có :
$\overline{9cb4}=2\overline{4bc9} \Rightarrow 986+\overline{cb}.10=20.\overline{bc} $
Vô lí vì $10\not|986 $
Vậy bài này không có đáp án

Mình thấy $9801 $ và $1089 $ thoả mãn nhưng chưa tìm được lời giải.

Đấy là do mình thử mà ra

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi Mathpro123

Mình thấy $9801 $ và $1089 $ thoả mãn nhưng chưa tìm được lời giải.

Đấy là do mình thử mà ra

Mình vừa edit lại, xét thiếu 1 trường hợp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mathpro123]

Bài 8 Tìm $x, y $ là các số nguyên dương để $\frac{x^{2}+x+1}{xy-1} $ nhận giá thị nguyên dương.
Bài 9 Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b, c $ đôi một khác nhau sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} $ nhận giá trị nguyên dương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mathpro123]

Nguyên văn bởi phongvân

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình sau:
a, $\left\{\begin{matrix}
x-y-z=-3 & \\
x^{2}-y^{2}-z^{2}=1&
\end{matrix}\right. $

$\left\{\begin{matrix}
x-y-z=-3 & \\
x^{2}-y^{2}-z^{2}=1&
\end{matrix}\right. $
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=y+z-3 & \\
(y+z-3)^{2}-y^{2}-z^{2}=1
&
\end{matrix}\right. $
Biến đổi và rút gọn $(y+z-3)^{2}-y^{2}-z^{2}=1\Leftrightarrow(y-3)(z-3)=5 $
Ta có các nghiệm sau $(x, y, z) $ là $(9, 4, 8);(9, 8, 4); (-3, 2, -2); (-3, -2, 2) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[stth]

Bài 10: Chứng minh rằng mọi số lẻ không chia hết cho $5 $ đều là ước của một số được viết bằng toàn chữ số 1 trong hệ thập phân.

Bài 11: Người ta viết dãy số $1,2,3,...,1000000, $ sau đó mỗi số được thay bởi tổng các chữ số của nó. Cứ làm như vậy cho đến khi nào trong dãy chỉ có các số có một chữ số. Hỏi lúc này trong dãy, chữ số nào xuất hiện nhiều lần nhất?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DaiToan]

Tôi xin đóng góp một bài, các bạn xem nhé
Tìm các số nguyên tố (p,q,r): $$\left\{ \begin{array}{l}
p\backslash (q + r) \\
q\backslash (r + 2p) \\
r\backslash (p + 3q) \\
\end{array} \right.$ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[supermouse]

Nguyên văn bởi Mathpro123

Bài 8 Tìm $x, y $ là các số nguyên dương để $\frac{x^{2}+x+1}{xy-1} $ nhận giá thị nguyên dương.

Đặt
$ \begin{array}{l}
z = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{xy - 1}} \\
\Rightarrow yz = x + 1 + \frac{{x + y + 1}}{{xy - 1}} \\
z \in {N^*} \Leftrightarrow \frac{{x + y + 1}}{{xy - 1}} \in Z \Leftrightarrow (x + y + 1) \ge (xy - 1) \\
\Leftrightarrow 3 \ge (x - 1)(y - 1) \\
\end{array}
$
Đến đây coi như xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Shyran]

Nguyên văn bởi Mathpro123

Bài 8 Tìm $x, y $ là các số nguyên dương để $\frac{x^{2}+x+1}{xy-1} $ nhận giá thị nguyên dương.
Bài 9 Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b, c $ đôi một khác nhau sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca} $ nhận giá trị nguyên dương.

Bài 9 là bài thi KHTN mấy năm trước, bạn tìm xem nhé

Nguyên văn bởi phongvân

Bài 4b là phương trình Pytago nhưng mình muốn mọi người đi tìm ra công thức tổng quát chứ không ghi mỗi công thức ra là xong, phải nêu cách làm để mọi người cùng học tập.

Bạn xem ở Số học bà chúa của toán học hoặc Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên nhé

Xin lỗi mình đang onl ở nhà trường nên không thể post lời giải đầy đủ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[king_math96]

Bài này một anh học KHTn bên diendantoanhoc.net sáng tác .
cho a,b,c là các số nguyên dương .sao cho $\frac{a^2}{b+c} ,\frac{b^2}{c+a} $và $\frac{c^2}{a+b} $ là số nguyên tố. Cm:$ a=b=c. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mathpro123]

Giải phương trình nghiệm nguyên $3^{x}-y^{3}=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]