Chứng minh ba điểm thẳng hàng

**huynhcongbang** · 29-08-2009, 08:58 PM

Mấy bạn giúp giùm bài này nha, sao thấy vấn đề cũng quen mà làm hoài không được :
"Cho tam giác ABC có O, I, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm và trực tâm của nó cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tam giác ABC có gì đặc biệt?"
Thì mình biết là O, G, H luôn thẳng hàng rồi đó nhưng thêm vô cái điểm I nữa thì sao??? ^^

**ma 29** · 30-08-2009, 08:30 PM

O,G,H,I thẳng hàng khi và chỉ khi tam giác ABC đều thôi,và khi ấy chúng trùng nhau.Thật vậy,ta chứng minh chiều thuận: Giả sử 4 điểm đó thẳng hàng thì tam giác ABC đều.
Chúng ta có thể chứng minh rằng
IA,IC tương ứng là phân giác cuả $\hat{OAH},\hat{OCH} $.
Do đó :$\frac{OA}{HA}=\frac{IO}{IH}=\frac{OC}{HC} =>HA=HC =>BA=BC $.
Tương tự cũng có CA=CB,nên ta thu được dpcm.
Chiều đảo đơn giản vì chúng trùng nhau nên tất nhiên thẳng hàng.

Hung_DHSP · 01-09-2009, 12:02 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ma 29

O,G,H,I thẳng hàng khi và chỉ khi tam giác ABC đều thôi,và khi ấy chúng trùng nhau.Thật vậy,ta chứng minh chiều thuận: Giả sử 4 điểm đó thẳng hàng thì tam giác ABC đều.
Chúng ta có thể chứng minh rằng
IA,IC tương ứng là phân giác cuả $\hat{OAH},\hat{OCH} $.
Do đó :$\frac{OA}{HA}=\frac{IO}{IH}=\frac{OC}{HC} =>HA=HC =>BA=BC $.
Tương tự cũng có CA=CB,nên ta thu được dpcm.
Chiều đảo đơn giản vì chúng trùng nhau nên tất nhiên thẳng hàng.

Anh Ma29 bị ốm à.
Hè.
$O,I,G,H $thẳng hàng khi và chỉ khi tam giác $ABC $ cân.

DCsonlinh_DHV · 01-09-2009, 05:16 PM

Bài quen thuộc trong một đề thi đông âu

huynshin · 24-09-2009, 12:35 PM

Cho tứ giác ABCD thỏa mãn góc ABC=ADC=90 độ và AC=AB+AD. AC cắt BD tại I. Giả sử trên tia IA tồn tại điểm E sao cho tứ gác EBCD ngoại tiếp. Gọi $I_{1}, I_{2} $ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc E của tam giác EBD và tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác BCD. Chứng minh $I_{1}, I_{2}, I $ thẳng hàng.^^

Hung_DHSP · 27-09-2009, 09:21 AM

Trích:

Nguyên văn bởi huynshin

Cho tứ giác ABCD thỏa mãn góc ABC=ADC=90 độ và AC=AB+AD. AC cắt BD tại I. Giả sử trên tia IA tồn tại điểm E sao cho tứ gác EBCD ngoại tiếp. Gọi $I_{1}, I_{2} $ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc E của tam giác EBD và tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác BCD. Chứng minh $I_{1}, I_{2}, I $ thẳng hàng.^^

Ta chứng minh rằng Tồn tại điểm $E $ như vậy $\Leftrightarrow AB=AD $
Khi đó dễ thấy $I,I_1,I_2 $ thuộc $AC $
Giả sử $AB=c<AD=b $
Ta CMR bất kì điểm $E $ thuộc tia $IA $ thì $BE<DE $Khi đó hiển nhiên $BE+CD<BC+DE $ thì $EBCD $ không ngoại tiếp.
Ta có $BE^2=c^2+AE^2-2cAEcos\alpha $
$\alpha $là góc BAE.
$DE^2=b^2+AE^2-2bAEcos\beta $
$\beta $là góc CAD
Ta cần CM:
$c^2-2cAEcos\alpha <b^2-2bAEcos\beta $
$\Leftrightarrow (b^2-c^2)>2AE(\frac {b^2-c^2}{AC}) $
$\Leftrightarrow AC>2AE $
Nên ta chỉ cần CM:
$2AI<AC $
$AM,CN $ vuông góc với BD.
Theo ct tinh đường cao thì dễ thấy $AM<CN $
$\Rightarrow AI<CI $
đpcm.

huynshin · 28-09-2009, 10:42 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Hung_DHSP

Ta chứng minh rằng Tồn tại điểm $E $ như vậy $\Leftrightarrow AB=AD $
Khi đó dễ thấy $I,I_1,I_2 $ thuộc $AC $
Giả sử $AB=c<AD=b $
Ta CMR bất kì điểm $E $ thuộc tia $IA $ thì $BE<DE $Khi đó hiển nhiên $BE+CD<BC+DE $ thì $EBCD $ không ngoại tiếp.
Ta có $BE^2=c^2+AE^2-2cAEcos\alpha $
$\alpha $là góc BAE.
$DE^2=b^2+AE^2-2bAEcos\beta $
$\beta $là góc CAD
Ta cần CM:
$c^2-2cAEcos\alpha <b^2-2bAEcos\beta $
$\Leftrightarrow (b^2-c^2)>2AE(\frac {b^2-c^2}{AC}) $
$\Leftrightarrow AC>2AE $
Nên ta chỉ cần CM:
$2AI<AC $
$AM,CN $ vuông góc với BD.
Theo ct tinh đường cao thì dễ thấy $AM<CN $
$\Rightarrow AI<CI $
đpcm.

Thực ra tôi có ý đồ khác. Bỏ giả thiết tồn tại điểm E. Hãy chứng minh chu vi tam giác CBI bằng chu vi tam giác CDI.

Hung_DHSP · 29-09-2009, 05:32 PM

link:[Only registered and activated users can see links. ]

Trà_Mi. · 29-09-2009, 11:08 PM

Tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm $O_a $ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC $ tại $C_1,B_1 $ và tiếp xúc trong với $(O) $.$B_1C_1 $ cắt $BC $ tại $A' $. $B' ,C' $ được xác định tương tự.
chứng minh $A',B',C' $ thẳng hàng.

Hung_DHSP · 30-09-2009, 07:44 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Trà_Mi.

Tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm $O_a $ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC $ tại $C_1,B_1 $ và tiếp xúc trong với $(O) $.$B_1C_1 $ cắt $BC $ tại $A' $. $B' ,C' $ được xác định tương tự.
chứng minh $A',B',C' $ thẳng hàng.

Nếu mình ko nhầm thì bài này đã từng post trên mathscope rồi.Nhưng tìm mãi mà ko thấy.
$AO_a\bigcap B_1C_1 $ tại $I $
Theo định lí Lyness ta có $I $ là tâm nội tiếp tam giác $ABC $
Nên $\angle CIA'=\angle A'IB $
Nên $\frac {A'C}{A'B}=\frac {IC^2}{IB^2} $
Tương tự với $B',C' $
ta có đpcm.

**Highschoolmath** · 30-09-2009, 09:35 AM

Đây là cách của tớ:
Gọi ${A}_{0} $ là điểm tiếp xúc trong của ${C}_{a} $với (O).Dễ chứng minh được ${A}_{0}{C}_{1},{A}_{0}{B}_{1} $ lần lượt đi qua điểm chính giữa các cung $AB,AC $.Như vậy:
$\frac{\bar{A{B}_{1}}}{\bar{{B}_{1}C}}.\frac{\bar{B {C}_{1}}}{\bar{{C}_{1}A}}=\frac{{A}_{0}B}{{A}_{0}C }=\frac{sin(\hat{BA{A}_{0}})}{sin(\hat{{A}_{0}AC}) }\Rightarrow \frac{A'B}{A'C}=-\frac{sin(\hat{BA{A}_{0}})}{sin(\hat{{A}_{0}AC})} $
Lại có dễ chứng minh được $A{A}_{0},B{B}_{0},C{C}_{0} $đồng quy (Vì cùng đi qua tâm vị tự của (O) và đường tròn nội tiếp ABC)$\Rightarrow \prod \frac{sin(\hat{BA{A}_{0}})}{sin(\hat{{A}_{0}AC})}= 1 $(Định lý Céva sin)$\Rightarrow \prod \frac{A'B}{A'C}=-1 $(đpcm)

PS:Sao các mod lại gộp hai đề tài này lại thế ạ

Trà_Mi. · 30-09-2009, 05:25 PM

Bài này tớ có cách chứng minh ngược từ $AA_0,BB_0,CC_0 $ đồng quy bằng phép nghịch đảo

thêm một bài mang tính bổ đề

Cho tam giác $ABC $, trực tâm $H $ và $O $ là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác. $M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,AC,AB $. $X,Y,Z $ lần lượt là trung điểm $HA,HB,HC $. Chứng minh các đường tròn $(OXM);(OYN);(OZP) $ đồng quy tại điểm thứ 2 khác $O $

Trà_Mi. · 01-10-2009, 11:59 PM

ko ai giải bài này à?

29-08-2009, 08:58 PM	#1
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	O, I, G, H thẳng hàng!!! Mấy bạn giúp giùm bài này nha, sao thấy vấn đề cũng quen mà làm hoài không được : "Cho tam giác ABC có O, I, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm và trực tâm của nó cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tam giác ABC có gì đặc biệt?" Thì mình biết là O, G, H luôn thẳng hàng rồi đó nhưng thêm vô cái điểm I nữa thì sao??? ^^

30-08-2009, 08:30 PM	#2
ma 29 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân Bài gởi: 888 Thanks: 113 Thanked 968 Times in 210 Posts	O,G,H,I thẳng hàng khi và chỉ khi tam giác ABC đều thôi,và khi ấy chúng trùng nhau.Thật vậy,ta chứng minh chiều thuận: Giả sử 4 điểm đó thẳng hàng thì tam giác ABC đều. Chúng ta có thể chứng minh rằng IA,IC tương ứng là phân giác cuả $\hat{OAH},\hat{OCH} $. Do đó :$\frac{OA}{HA}=\frac{IO}{IH}=\frac{OC}{HC} =>HA=HC =>BA=BC $. Tương tự cũng có CA=CB,nên ta thu được dpcm. Chiều đảo đơn giản vì chúng trùng nhau nên tất nhiên thẳng hàng. __________________ Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời và lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.

24-09-2009, 12:35 PM	#5
huynshin +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2009 Bài gởi: 7 Thanks: 5 Thanked 2 Times in 1 Post	Chứng minh ba điểm thẳng hàng Cho tứ giác ABCD thỏa mãn góc ABC=ADC=90 độ và AC=AB+AD. AC cắt BD tại I. Giả sử trên tia IA tồn tại điểm E sao cho tứ gác EBCD ngoại tiếp. Gọi $I_{1}, I_{2} $ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc E của tam giác EBD và tâm đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác BCD. Chứng minh $I_{1}, I_{2}, I $ thẳng hàng.^^

29-09-2009, 11:08 PM	#9
Trà_Mi. +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Đến từ: .....** Bài gởi: 29 Thanks: 15 Thanked 2 Times in 2 Posts	bài toán for Hung_DHSP Tam giác $ABC $ nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm $O_a $ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC $ tại $C_1,B_1 $ và tiếp xúc trong với $(O) $.$B_1C_1 $ cắt $BC $ tại $A' $. $B' ,C' $ được xác định tương tự. chứng minh $A',B',C' $ thẳng hàng. __________________ :kiss:

30-09-2009, 09:35 AM	#11
Highschoolmath Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts	Đây là cách của tớ: Gọi ${A}_{0} $ là điểm tiếp xúc trong của ${C}_{a} $với (O).Dễ chứng minh được ${A}_{0}{C}_{1},{A}_{0}{B}_{1} $ lần lượt đi qua điểm chính giữa các cung $AB,AC $.Như vậy: $\frac{\bar{A{B}_{1}}}{\bar{{B}_{1}C}}.\frac{\bar{B {C}_{1}}}{\bar{{C}_{1}A}}=\frac{{A}_{0}B}{{A}_{0}C }=\frac{sin(\hat{BA{A}_{0}})}{sin(\hat{{A}_{0}AC}) }\Rightarrow \frac{A'B}{A'C}=-\frac{sin(\hat{BA{A}_{0}})}{sin(\hat{{A}_{0}AC})} $ Lại có dễ chứng minh được $A{A}_{0},B{B}_{0},C{C}_{0} $đồng quy (Vì cùng đi qua tâm vị tự của (O) và đường tròn nội tiếp ABC)$\Rightarrow \prod \frac{sin(\hat{BA{A}_{0}})}{sin(\hat{{A}_{0}AC})}= 1 $(Định lý Céva sin)$\Rightarrow \prod \frac{A'B}{A'C}=-1 $(đpcm) PS:Sao các mod lại gộp hai đề tài này lại thế ạ __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 30-09-2009 lúc 09:44 AM

29-09-2009, 05:32 PM	#8
Hung_DHSP +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: K42 CSP K53 Kinh tế quốc dân Bài gởi: 223 Thanks: 28 Thanked 86 Times in 63 Posts	link:[Only registered and activated users can see links. ]

30-09-2009, 05:25 PM	#12
Trà_Mi. +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Đến từ: .....** Bài gởi: 29 Thanks: 15 Thanked 2 Times in 2 Posts	Bài này tớ có cách chứng minh ngược từ $AA_0,BB_0,CC_0 $ đồng quy bằng phép nghịch đảo thêm một bài mang tính bổ đề Cho tam giác $ABC $, trực tâm $H $ và $O $ là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác. $M,N,P $ lần lượt là trung điểm $BC,AC,AB $. $X,Y,Z $ lần lượt là trung điểm $HA,HB,HC $. Chứng minh các đường tròn $(OXM);(OYN);(OZP) $ đồng quy tại điểm thứ 2 khác $O $ __________________ :kiss: thay đổi nội dung bởi: Trà_Mi., 30-09-2009 lúc 05:34 PM

01-10-2009, 11:59 PM	#13
Trà_Mi. +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Đến từ: .....** Bài gởi: 29 Thanks: 15 Thanked 2 Times in 2 Posts	ko ai giải bài này à? __________________ :kiss: