Hay đây!

**ghjk** · 27-03-2008, 12:10 AM

Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại E. Cho /AB/=/CE/,/BE/=/AD/ và góc AED=góc BAD.Tính /BC/|/AD/(/XY/ là độ dài của đoạn thẳng từ X đến Y)
PS: Bài trên mình đã c/m với 2 TH lá tứ giác lồi và lõm thì thấy cả 2 TH đều suy ra vô lí(tức ko tồn tại cái hình trên). Mình c/m BC//AD và từ đó thì TH tứ giác lồi, c/m 1 chút nữa sẽ dẫn tới vô li (chú ý luôn là BC=BD). Các bác có ai vẽ được hình và c/m được hình có tồn tại thì post lên giúp mình nhé!:hornytoro:

modular · 27-03-2008, 09:41 AM

Chú post chứng minh của mình lên đi, anh xem nào.

**ghjk** · 27-03-2008, 10:12 AM

Hix thành thật xin lỗi các bạn, đặc biệt là anh a1a! Cách c/m cho TH lồi của em bị sai còn TH lõm thì vẫn đúng(dùng công thức sin A/2 và sin B/2 vói 2 cái góc đề bài cho là dễ dàng suy ra BC=BD trong TH này).
Nhưng cũng nhờ vậy mà em lại suy ra được 1 điều vô lí khác! Ko bít có gì sai ko? Đây là cách c/m của em trong TH lồi:
Ta dể dàng c/m BC=BD và BC//AD
Từ đây ta có: góc BCD=góc BDC
Vì góc BEC=góc EDC+ góc DCE=2*gócACD+gócBCA
góc BEC=góc BAC+góc EBA
Từ đây suy ra: 2*góc ACD=góc (vì góc EBA=gócBCA)
Đến đây kẻ phân giác góc BAC cắt EB tại H. Vậy ta có: HA//DC
Suy ra: HE/ED=AE/EC mà AE/EC=EB/ED(vì BC//AD)
nên suy ra: HE=EB(cái này đúng khi và chi khi B trùng H).Em nghĩ là BC/AD=1
Em đã nhờ 1 người bạn vẽ hộ hình=computer và check với 3 TH khi số đo góc AED=80,70 và 60 thì thấy rằng tỉ lệ giữa BC/AD luôn thay đổi! Em quả thực ko nghĩ bài toán này có KQ=1 hằng số hay đúng hơn là ko giải được! Anh a1a giải ra ko ạh?Mong anh helps em nhé!:hornytoro:

n.t.tuan · 27-03-2008, 12:19 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ghjk

Hix thành thật xin lỗi các bạn, đặc biệt là anh a1a! Cách c/m cho TH lồi của em bị sai còn TH lõm thì vẫn đúng(dùng công thức sin A/2 và sin B/2 vói 2 cái góc đề bài cho là dễ dàng suy ra BC=BD trong TH này).
Nhưng cũng nhờ vậy mà em lại suy ra được 1 điều vô lí khác! Ko bít có gì sai ko? Đây là cách c/m của em trong TH lồi:

Đọc đến đây thấy đủ rồi, khỏi đọc thêm. :hornytoro:

**ghjk** · 27-03-2008, 12:21 PM

Hix anh Tuân đọc kĩ lại giùm em! Đó là cách c/m sau khi em đã sửa lại rùi mà!

n.t.tuan · 27-03-2008, 12:55 PM

Chú đúng, không tồn tại cái tứ giác đó!

**ghjk** · 27-03-2008, 02:21 PM

Đây là 3 TH mà m2inh nhờ thằng bạn mình vẽ hộ với góc AED=70,80 và 90. KQ ra thấy BC/AD ở 3 TH khác nhau nhưng đều xấp xỉ 1.6.:beatbrick:

**let** · 27-03-2008, 05:04 PM

Điều kiện chú đưa ra tương đương với hai tam giác $ADB $ và $BEC $ bằng nhau! Do đó $\frac{BC}{AD}=\frac{DB}{AD}=x $
Mà hai tam giác $ADB $ và $EDA $ đồng dạng nên $DA^2=DB.DE\Leftrightarrow DA^2=DB(DB-DA)\Leftrightarrow 1=x^2-x $ (Chia hai vế cho $AD^2 $)
Từ đó $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $

PS: Tứ giác này tồn tại vì có thể dựng tam giác $ADB $ trước, sau đó dựng $E $ thỏa $\widehat{DAE}=\widehat{DBA} $ và từ đó kẻ $BC//AD $

n.t.tuan · 27-03-2008, 06:48 PM

Ô, thế không lẽ anh lẩm cẩm. Chú xem lời giải của Tuấn nó sai ở đâu cái. Hôm nay anh chạy xe cả ngày, vậy mà nó hành anh cả buổi đấy! :hornytoro:

**let** · 27-03-2008, 07:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ghjk

Suy ra: HE/ED=AE/EC mà AE/EC=EB/ED(vì BC//AD)

Tìm ra rồi, chỗ này phải là $\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BE} $

n.t.tuan · 27-03-2008, 08:06 PM

Đểu thế?

Không ngờ cu Tuấn lại sai thế?

Cảm ơn chú Thịnh nhé!

**ghjk** · 28-03-2008, 01:16 AM

Trích:

Nguyên văn bởi let

Điều kiện chú đưa ra tương đương với hai tam giác $ADB $ và $BEC $ bằng nhau! Do đó $\frac{BC}{AD}=\frac{DB}{AD}=x $
Mà hai tam giác $ADB $ và $EDA $ đồng dạng nên $DA^2=DB.DE\Leftrightarrow DA^2=DB(DB-DA)\Leftrightarrow 1=x^2-x $ (Chia hai vế cho $AD^2 $)
Từ đó $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $

PS: Tứ giác này tồn tại vì có thể dựng tam giác $ADB $ trước, sau đó dựng $E $ thỏa $\widehat{DAE}=\widehat{DBA} $ và từ đó kẻ $BC//AD $

Thank you anh let nhiều lắm ạh! Em cũng ko nghĩ lời giải của mình đúng!:hornytoro:. Anh tinh tường thật. Em cũng xét tới tam giác đồng dạng như anh mà do đầu óc cứ nghĩ đến cái cách c/m kia nên bỏ ko đi tiếp.:beatbrick:.Tặng anh 1"nụ hôn":kiss:

27-03-2008, 12:10 AM	#1
ghjk +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 200 Thanks: 2 Thanked 6 Times in 6 Posts	Hay đây! Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại E. Cho /AB/=/CE/,/BE/=/AD/ và góc AED=góc BAD.Tính /BC/\|/AD/(/XY/ là độ dài của đoạn thẳng từ X đến Y) PS: Bài trên mình đã c/m với 2 TH lá tứ giác lồi và lõm thì thấy cả 2 TH đều suy ra vô lí(tức ko tồn tại cái hình trên). Mình c/m BC//AD và từ đó thì TH tứ giác lồi, c/m 1 chút nữa sẽ dẫn tới vô li (chú ý luôn là BC=BD). Các bác có ai vẽ được hình và c/m được hình có tồn tại thì post lên giúp mình nhé!:hornytoro: __________________ Try your best... and do over your best

27-03-2008, 10:12 AM	#3
ghjk +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 200 Thanks: 2 Thanked 6 Times in 6 Posts	Hix thành thật xin lỗi các bạn, đặc biệt là anh a1a! Cách c/m cho TH lồi của em bị sai còn TH lõm thì vẫn đúng(dùng công thức sin A/2 và sin B/2 vói 2 cái góc đề bài cho là dễ dàng suy ra BC=BD trong TH này). Nhưng cũng nhờ vậy mà em lại suy ra được 1 điều vô lí khác! Ko bít có gì sai ko? Đây là cách c/m của em trong TH lồi: Ta dể dàng c/m BC=BD và BC//AD Từ đây ta có: góc BCD=góc BDC Vì góc BEC=góc EDC+ góc DCE=2gócACD+gócBCA góc BEC=góc BAC+góc EBA Từ đây suy ra: 2góc ACD=góc (vì góc EBA=gócBCA) Đến đây kẻ phân giác góc BAC cắt EB tại H. Vậy ta có: HA//DC Suy ra: HE/ED=AE/EC mà AE/EC=EB/ED(vì BC//AD) nên suy ra: HE=EB(cái này đúng khi và chi khi B trùng H).Em nghĩ là BC/AD=1 Em đã nhờ 1 người bạn vẽ hộ hình=computer và check với 3 TH khi số đo góc AED=80,70 và 60 thì thấy rằng tỉ lệ giữa BC/AD luôn thay đổi! Em quả thực ko nghĩ bài toán này có KQ=1 hằng số hay đúng hơn là ko giải được! Anh a1a giải ra ko ạh?Mong anh helps em nhé!:hornytoro: __________________ Try your best... and do over your best

27-03-2008, 12:21 PM	#5
ghjk +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 200 Thanks: 2 Thanked 6 Times in 6 Posts	Hix anh Tuân đọc kĩ lại giùm em! Đó là cách c/m sau khi em đã sửa lại rùi mà! __________________ Try your best... and do over your best

27-03-2008, 12:55 PM	#6
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Chú đúng, không tồn tại cái tứ giác đó! __________________ T.

27-03-2008, 05:04 PM	#8
let +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 168 Thanks: 16 Thanked 42 Times in 25 Posts	Điều kiện chú đưa ra tương đương với hai tam giác $ADB $ và $BEC $ bằng nhau! Do đó $\frac{BC}{AD}=\frac{DB}{AD}=x $ Mà hai tam giác $ADB $ và $EDA $ đồng dạng nên $DA^2=DB.DE\Leftrightarrow DA^2=DB(DB-DA)\Leftrightarrow 1=x^2-x $ (Chia hai vế cho $AD^2 $) Từ đó $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $ PS: Tứ giác này tồn tại vì có thể dựng tam giác $ADB $ trước, sau đó dựng $E $ thỏa $\widehat{DAE}=\widehat{DBA} $ và từ đó kẻ $BC//AD $ __________________ Rồng sa vũng cạn bị lươn ghẹo! Hổ xuống đất bằng bị chó khinh! thay đổi nội dung bởi: let, 27-03-2008 lúc 05:17 PM

27-03-2008, 09:41 AM	#2
modular B&S-D Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 589 Thanks: 395 Thanked 147 Times in 65 Posts	Chú post chứng minh của mình lên đi, anh xem nào.

27-03-2008, 06:48 PM	#9
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Ô, thế không lẽ anh lẩm cẩm. Chú xem lời giải của Tuấn nó sai ở đâu cái. Hôm nay anh chạy xe cả ngày, vậy mà nó hành anh cả buổi đấy! :hornytoro: __________________ T.

27-03-2008, 08:06 PM	#11
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Đểu thế? Không ngờ cu Tuấn lại sai thế? Cảm ơn chú Thịnh nhé! __________________ T.